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गणना
गणित की वह शाखा है जो परिवर्तन के दरों और मात्राओं के संचय से संबंधित है। यह समझने के लिए आवश्यक है कि कैसे प्रणालियाँ समय के साथ गतिशील रूप से विकसित होती हैं और यह विज्ञान, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र और उससे आगे के क्षेत्रों में बुनियादी है। गणना को अवकलगणित और समाकलनगणित में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक विभिन्न प्रकार की समस्याओं से संबंधित है।
अवकलगणित
अवकलगणित डेरिवेटिव के सिद्धांत पर केंद्रित होता है, जो मापते हैं कि जब इनपुट बदलता है तो कोई फ़ंक्शन कैसे बदलता है। मूल रूप से, यह इस अध्ययन का विषय है कि चीजें कैसे बदलती हैं और इसका उपयोग यह जानने के लिए किया जाता है कि किसी चीज़ के होने की गति कितनी तेज़ है। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी दिए गए समय पर कार की स्थिति जानते हैं, तो अवकलगणित आपको इसकी गति या त्वरण खोजने में मदद कर सकता है।
डेरिवेटिव
किसी निश्चित बिंदु पर किसी फ़ंक्शन का डेरिवेटिव उस दर को मापता है जिस पर इनपुट बदलने पर फ़ंक्शन का मान बदलता है। यह किसी विशेष बिंदु पर वक्र के ढलान को खोजने के समान है।
उदाहरण: रैखिक फ़ंक्शन का डेरिवेटिव
फ़ंक्शन f(x) = 2x + 3 रैखिक है। इसका डेरिवेटिव f'(x) केवल इस रेखा की ढलान है, जो 2 है।
डेरिवेटिव का पता लगाना
किसी फ़ंक्शन का डेरिवेटिव खोजने के लिए, आप पॉवर रूल, गुणन रूल, और भाजक रूल जैसे विभिन्न नियमों का उपयोग कर सकते हैं। यहां पॉवर रूल का उपयोग करने का एक साधारण उदाहरण है:
पॉवर लॉ: यदिf(x) = x^n, तोf'(x) = n * x^(n-1)।
उदाहरण: पॉवर रूल
f(x) = x^3 का डेरिवेटिव खोजें।
पॉवर रूल का उपयोग करते हुए: f'(x) = 3 * x^(3-1) = 3x^2।
दृश्यात्मक उदाहरण: द्विघात फ़ंक्शन का डेरिवेटिव
ऊपर के दृश्य में, नीली वक्र एक द्विघात फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है। पराबोला के शीर्ष पर लाल स्पर्शरेखा रेखा दिखाती है कि ढलान शून्य है, जो डेरिवेटिव के बिंदु को उजागर करती है।
समाकलनगणित
समाकलनगणित, दूसरी ओर, मात्राओं के संचयों और वक्रों के नीचे और बीच के क्षेत्रों से संबंधित है। यह मूल रूप से अवकलन की प्रक्रिया का विपरीत है। जबकि डेरिवेटिव परिवर्तन की दरों का प्रतिनिधित्व करते हैं, समाकलन किसी मात्रा के कुल संचय की गणना करने का एक तरीका प्रदान करते हैं।
समाकल
समाकल ऐसे गणितीय उपकरण हैं जिनका उपयोग बहुत बड़ी संख्याओं की श्रृंखला को जोड़ने के लिए किया जाता है, जिन्हें पारंपरिक रूप से नहीं जोड़ा जा सकता है। यह क्षेत्रों, अन्य बिंदुओं, और कई अन्य उपयोगी चीज़ों की गणना करने का एक सुविधाजनक तरीका प्रदान करता है।
निश्चित और अनिश्चित समाकल
समाकल को दो प्रकारों में वर्गीकृत किया गया है: निश्चित और अनिश्चित।
- अनिश्चित समाकल फ़ंक्शनों के परिवार का प्रतिनिधित्व करता है और इसमें एक समाकलन स्थिरांक (C) शामिल होता है। यह प्रश्न का उत्तर देता है "मूल फ़ंक्शन क्या है?" दिए गए डेरिवेटिव के लिए।
- इसके विपरीत, निश्चित समाकल दो निर्दिष्ट सीमाओं
aसेbके बीच के वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल गणना करता है।
उदाहरण: अनिश्चित समाकल
f(x) = 2x का अनिश्चित समाकल खोजें।
इस फ़ंक्शन का एंटीडेरिवेटिव F(x) = x^2 + C है जहाँ C समाकलन की स्थिरांक है।
दृश्यात्मक उदाहरण: निश्चित समाकल के रूप में क्षेत्रफल
दृश्य में छायांकित क्षेत्र a से b तक किसी फ़ंक्शन के ग्राफ के नीचे और x-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है। यह क्षेत्र a से b तक निश्चित समाकल की गणना करके पाया जाता है।
गणना के मौलिक प्रमेय
गणना का मौलिक प्रमेय अवकलन और समाकलन के बीच संबंध स्थापित करता है, यह दर्शाता है कि वे मूल रूप से विपरीत प्रक्रियाएँ हैं। यह दो भागों में विभाजित है:
- भाग 1: यह हमें बताता है कि यदि हम किसी फ़ंक्शन का समाकलन करते हैं और फिर उस समाकल का अवकलन करते हैं, तो हम मूल फ़ंक्शन पर वापस आ जाते हैं।
- भाग 2: यह कहता है कि
aसेbतक किसी फ़ंक्शन का निश्चित समाकल उसके एंटीडेरिवेटिव्स के इन बिंदुओं पर मूल्यों में परिवर्तन के बराबर होता है।
उदाहरण: गणना के मौलिक प्रमेय
मान लें कि F(x) अंतराल [a, b] पर f(x) का एंटीडेरिवेटिव है, तो a से b तक f(x) का समाकल है:
a से b करने के लिए f(x) का समाकल dx = F(b) - F(a)
गणना के अनुप्रयोग
गणना का उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में समस्याओं को हल करने, परिणामों की भविष्यवाणी करने और गतिशील प्रणालियों को समझने के लिए किया जाता है। यहां कुछ अनुप्रयोग दिए गए हैं:
भौतिकी
गणना का भौतिकी में बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है ताकि वेग, त्वरण, और वस्तुओं के पथ जैसी मात्राओं की गणना की जा सके। इन मात्राओं के बीच संबंध अक्सर अवकल समीकरणों के रूप में व्यक्त किए जाते हैं जिन्हें गणना का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
उदाहरण: एक रेखा के साथ गति
कार की स्थिति को फ़ंक्शन s(t) = 4t^3 द्वारा वर्णित किया गया है, जहाँ s स्थिति है और t समय है। इसका वेग खोजने के लिए, हम स्थिति फ़ंक्शन का अवकलन करते हैं:
v(t) = ds/dt = d(4t^3)/dt = 12t^2
अर्थशास्त्र
अर्थशास्त्री आर्थिक परिदृश्यों का मॉडल बनाने और भविष्यवाणी करने, आर्थिक कारकों के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए अंशों को अनुकूलित करने, लागत अंशों की गणना करने और आपूर्ति और मांग की लोच को खोजने के लिए गणना का उपयोग करते हैं।
उदाहरण: लागत अनुकूलन
मान लें कि x वस्तुओं का उत्पादन करने की कुल लागत C(x) एक द्विघात फ़ंक्शन द्वारा दी गई है:
c(x) = 50x + 0.5x^2
कृंतक बिंदुओं को ढूंढकर लागत अनुकूलन उत्पादन स्तर खोजें:
dc/dx = 50 + x
dC/dx = 0 => 50 + x = 0 => x = -50
इस संदर्भ में, नकारात्मक उत्पादन स्तरों को अनदेखा कर दें जो गलत मॉडल धारणाओं को या व्यवहार्य समाधानों पर ध्यान केंद्रित करते हैं।
निष्कर्ष
गणना परिवर्तन को मॉडल करने के लिए उपकरण और भाषा प्रदान करती है। चाहे वस्तुओं की गति का वर्णन करना हो, आर्थिक रुझानों की भविष्यवाणी करना हो, या प्राकृतिक घटनाओं को समझना हो, गणना गणितीय विज्ञानों का एक मौलिक हिस्सा है जिसे दुनिया भर में कई अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है।
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