Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

Universitario ↓


Cálculos


El cálculo es una rama de las matemáticas que se ocupa de las tasas de cambio y la acumulación de cantidades. Es esencial para comprender cómo los sistemas evolucionan dinámicamente con el tiempo y es fundamental en campos como la ciencia, la ingeniería, la economía y más allá. El cálculo se divide en cálculo diferencial e integral, cada uno de los cuales trata con diferentes tipos de problemas.

Cálculo diferencial

El cálculo diferencial se centra en el concepto de derivadas, que miden cómo cambia una función cuando cambian las entradas. Esencialmente, es el estudio de cómo cambian las cosas y se usa para encontrar la respuesta a la pregunta de qué tan rápido está ocurriendo algo. Por ejemplo, si se conoce la posición de un automóvil en un momento dado, el cálculo diferencial puede ayudar a encontrar su velocidad o aceleración.

Derivadas

La derivada de una función en un punto dado mide la tasa a la que cambia el valor de la función cuando cambian las entradas. Esto es como encontrar la pendiente de una curva en un punto particular.

Ejemplo: Derivada de una función lineal

La función f(x) = 2x + 3 es lineal. La derivada f'(x) es simplemente la pendiente de esta línea, que es 2.

Encontrar derivadas

Para encontrar la derivada de una función, se pueden usar varias reglas, como la regla del poder, la regla del producto y la regla del cociente. Aquí hay un ejemplo simple usando la regla del poder:

ley del poder:
Si f(x) = x^n, entonces f'(x) = n * x^(n-1).

Ejemplo: Regla del poder

Encuentra la derivada de f(x) = x^3.

Usando la regla del poder: f'(x) = 3 * x^(3-1) = 3x^2.

Ejemplo visual: Derivada de una función cuadrática

pendiente = 0

En la visualización anterior, la curva azul representa una función cuadrática. La línea tangente roja en la parte superior de la parábola muestra que la pendiente es cero, destacando el punto de la derivada.

Cálculo integral

El cálculo integral, por otro lado, se ocupa de las acumulaciones de cantidades y las áreas bajo y entre curvas. Es esencialmente el proceso opuesto a la diferenciación. Mientras que las derivadas representan tasas de cambio, los integrales proporcionan una forma de calcular la acumulación total de una cantidad.

Integrales

Los integrales son una herramienta matemática utilizada para sumar una serie de números que son demasiado grandes para sumar convencionalmente. Proporciona una forma conveniente de calcular áreas, volúmenes, puntos centrales y muchas otras cosas útiles.

Integrales definidas e indefinidas

Los integrales se clasifican en dos tipos: definidos e indefinidos.

  • El integral indefinido representa una familia de funciones e incluye una constante de integración (C). Responde a la pregunta "¿Cuál es la función original?" para una derivada dada.
  • En contraste, el integral definido calcula el área neta bajo una curva entre dos límites especificados de a a b.

Ejemplo: Integral indefinida

Encuentra el integral indefinido de f(x) = 2x.

La antiderivada de esta función es F(x) = x^2 + C donde C es la constante de integración.

Ejemplo visual: Integral definida como área

Área = Integral

El área sombreada en la vista representa el área debajo del gráfico de una función desde a hasta b y por encima del eje x. Esta área se encuentra calculando un integral definido desde a hasta b.

Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo establece la relación entre la diferenciación y la integración, mostrando que son procesos esencialmente inversos. Se divide en dos partes:

  • Parte 1: Esto nos dice que si integramos una función y luego diferenciamos ese integral, volvemos a la función original.
  • Parte 2: Dice que el integral definido de una función desde a hasta b es igual al cambio en los valores de sus antiderivadas en estos puntos.

Ejemplo: Teorema fundamental del cálculo

Sea F(x) una antiderivada de f(x) en el intervalo [a, b], entonces el integral de f(x) desde a hasta b es:

El integral de f(x) de a a b dx = F(b) - F(a)

Aplicaciones del cálculo

El cálculo se utiliza en una variedad de campos para resolver problemas, predecir resultados y comprender sistemas dinámicos. Estas son algunas aplicaciones:

Física

El cálculo se utiliza extensivamente en física para calcular cantidades como velocidad, aceleración y la trayectoria de objetos. Las relaciones entre estas cantidades a menudo se expresan como ecuaciones diferenciales que se pueden resolver usando cálculo.

Ejemplo: Movimiento a lo largo de una línea

La posición del automóvil está descrita por la función s(t) = 4t^3, donde s es posición y t es tiempo. Para encontrar su velocidad, diferenciamos la función de posición:

v(t) = ds/dt = d(4t^3)/dt = 12t^2

Economía

Los economistas usan cálculo para modelar y predecir escenarios económicos, optimizar funciones para predecir el comportamiento de factores económicos, calcular funciones de costo y encontrar la elasticidad de la oferta y la demanda.

Ejemplo: Minimización de costos

Supongamos que el costo total C(x) de producir x bienes está dado por una función cuadrática:

c(x) = 50x + 0.5x^2

Para encontrar el nivel de producción que minimiza el costo, diferencia y localiza los puntos críticos:

dc/dx = 50 + x
    
establecer dC/dx = 0 => 50 + x = 0 => x = -50

En este contexto, ignora niveles de producción negativos que indican supuestos de modelo incorrectos o enfócate en soluciones viables.

Conclusión

El cálculo proporciona las herramientas y el lenguaje para modelar el cambio. Ya sea describiendo el movimiento de objetos, prediciendo tendencias económicas o comprendiendo fenómenos naturales, el cálculo es una parte fundamental de las ciencias matemáticas que se utiliza en muchas aplicaciones a nivel mundial.


Universitario → 2


U
username
0%
completado en Universitario

← Anterior (1.2.13)
Introducción a la teoría de Galois
Siguiente (2.1) →
Cálculo diferencial

Comentarios 



Cálculos

https://www.buddymath.com/ug/2?bmal=es