बहुविविध कलन

बहुविविध कलन कलन की एक शाखा है जो एकविनतीय कलन के साधारण को कई चर वाले फलनों तक विस्तारित करती है। जबकि एकविनतीय कलन उन फलनों से संबंधित होता है जिनमें एक स्वतंत्र चर होता है, जैसे f(x), बहुविविध कलन उन फलनों को संभालता है, जैसे f(x, y, z), जो दो या अधिक स्वतंत्र चर पर निर्भर होते हैं।

कल्पना करें कि आप एक पर्वत पर चढ़ रहे हैं। एकविनतीय कलन में, आप अपनी चढ़ाई को आधार से अपनी दूरी के संदर्भ में सोच सकते हैं। लेकिन अगर आप न केवल ऊँचाई बल्कि नक्शे पर अपनी स्थिति (अक्षांश और देशान्तर) के बारे में भी विचार कर रहे हैं? उस स्थिति में, बहुविविध कलन आपके लिए सहायक सिद्ध होता है।

कई चरों वाले फलन की अवधारणा

कई चर वाले फलन को एक ऐसी मशीन के रूप में सोचा जा सकता है जो कई इनपुट लेती है और एक आउटपुट लौटाती है। उदाहरण के लिए, एक फलन जैसे f(x, y) = x^2 + y^2 दो इनपुट, x और y, लेता है और एक आउटपुट लौटाता है।

फलनों का दृश्य प्रतिनिधित्व

उपरोक्त दृश्य उदाहरण एक दीर्घवृत्ताकार सतह दिखाता है, जहां विभिन्न बिंदु f(x, y) के विभिन्न मानों से संबंधित हैं।

आंशिक अवकलज

आंशिक अवकलज किसी फलन की ऐसी अवकलज हैं जो एक से अधिक चर के साथ होता है। यह दर्शाते हैं कि जब कोई एक चर बदलता है, जबकि अन्य चर स्थिर रहते हैं, तो फलन कैसे बदलता है। यदि f(x, y) एक फलन है, तो f का x के अनुसार आंशिक अवकलज ∂f/∂x से प्रदर्शित होता है, और y के अनुसार आंशिक अवकलज ∂f/∂y से प्रदर्शित होता है।

उदाहरण के लिए, विचार करें f(x, y) = x^2 + y^2। इसके आंशिक अवकलज होंगे:

∂f/∂x = 2x
∂f/∂y = 2y

ढाल और दिशा अवकलज

ढाल एक सदिश है जो फलन की सबसे तेज वृद्धि की दिशा और दर दर्शाता है। किसी फलन f(x, y) के लिए, ढाल एक सदिश होता है जिसमें इसके आंशिक अवकलज होते हैं:

∇f(x, y) = ( ∂f/∂x, ∂f/∂y )

ढाल किसी फलन के सबसे अधिक वृद्धि की दिशा को इंगित करता है। यह फलन की स्तर रेखा के लंबवत होता है।

उदाहरण

के लिए f(x, y) = x^2 + y^2, ढाल सदिश है:

∇f(x, y) = (2x, 2y)

किसी बिंदु पर इस ढाल का मान अधिकतम वृद्धि की दर देता है, और इसकी दिशा इंगित करती है कि फलन सबसे तेजी से कहां बढ़ता है।

दोहरा और तिहरा समाकलन

बहुविविध कलन में समाकलन दोहरे और तिहरे समाकलन तक विस्तारित होता है, जिनका उपयोग सतहों के नीचे की धारिता और अन्य संबंधित मात्राओं की गणना करने के लिए किया जाता है।

दोहरा समाकलन

किसी क्षेत्र D में xy तल के लिए किसी फलन f(x, y) के लिए एक दोहरा समाकलन प्रस्तुत और गणना किया जाता है:

∬ d f(x, y) dA

यह क्षेत्र D के ऊपर फलन f(x, y) के नीचे की धारिता को गणना करता है

उदाहरण

क्षेत्र 0 ≤ x ≤ 1 और 0 ≤ y ≤ 1 में फलन f(x, y) = x^2 + y^2 का समाकलन ज्ञात करने के लिए, हम पास करते हैं:

∬ D (x^2 + y^2) dA = ∫ 0 1 ∫ 0 1 (x^2 + y^2) dy dx

तिहरा समाकलन

तिहरा समाकलन इस अवधारणा को तीन-आयामी स्थानों पर विस्तारित करता है। किसी फलन f(x, y, z) के लिए, तिहरा समाकलन यों दिया जाता है:

∭ V f(x, y, z) dv

यह तीन आयामों में धारिता या क्षेत्रफल की गणना करता है।

अनुप्रयोग

बहुविविध कलन के कई अनुप्रयोग भौतिकी, अभियांत्रिकी, अर्थशास्त्र, और अन्य क्षेत्रों में हैं। यह एक से अधिक चर वाले भौतिक प्रणालियों को समझने में मदद करता है।

उदाहरण के लिए, बहुविविध कलन मैक्सवेल के समीकरणों में उपयोग होता है जिससे बताया जाता है कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र अंतरिक्ष में कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। इसका उपयोग अनुकूलन समस्याओं में भी किया जाता है जहां आप एकाधिक चर वाले फलन को अधिकतम या न्यूनतम करना चाहते हैं।

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