Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Cálculo multivariable


El cálculo multivariable es una rama del cálculo que extiende los conceptos del cálculo de una sola variable a funciones con múltiples variables. Mientras que el cálculo de una sola variable trata con funciones que tienen una variable independiente, como f(x), el cálculo multivariable maneja funciones, como f(x, y, z), que dependen de dos o más variables independientes.

Imagina que estás escalando una montaña. En el cálculo de una sola variable, podrías pensar en tu ascenso en términos de tu distancia desde la base. Pero, ¿y si estás considerando no solo la altura, sino también tu posición en el mapa (latitud y longitud)? En ese caso, el cálculo multivariable es útil.

El concepto de una función con varias variables

Una función con múltiples variables se puede considerar como una máquina que toma múltiples entradas y devuelve un solo resultado. Por ejemplo, una función como f(x, y) = x^2 + y^2 toma dos entradas, x y y, y devuelve un resultado.

Visualización de funciones

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    <text x="5" y="-157" fill="black">z</text>
    <text x="180" y="5" fill="black">x</text>
    <text x="5" y="15" fill="black">y</text>
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    <text x="55" y="-35" fill="red">f(x, y)</text>
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El ejemplo visual anterior muestra una superficie elíptica, donde diferentes puntos corresponden a diferentes valores de f(x, y).

Derivada parcial

Las derivadas parciales son derivadas de una función con más de una variable. Muestran cómo cambia la función cuando una de las variables cambia, mientras que las otras variables permanecen constantes. Si f(x, y) es una función, entonces la derivada parcial de f con respecto a x se representa como ∂f/∂x, y la derivada parcial con respecto a y se representa como ∂f/∂y.

Por ejemplo, considera f(x, y) = x^2 + y^2. Las derivadas parciales serían:

∂f/∂x = 2x
∂f/∂y = 2y

Gradiente y derivada direccional

El gradiente es un vector que muestra la dirección y la tasa del aumento más rápido de una función. Para una función f(x, y), el gradiente es un vector que contiene sus derivadas parciales:

∇f(x, y) = ( ∂f/∂x, ∂f/∂y )

El gradiente indica la dirección del mayor aumento de una función. Es perpendicular a la curva de nivel de la función.

Ejemplo

Para f(x, y) = x^2 + y^2, el vector gradiente es:

∇f(x, y) = (2x, 2y)

La magnitud de este gradiente en cualquier punto da la tasa máxima de crecimiento, y su dirección indica la ubicación donde la función crece más rápido.

Integrales dobles y triples

La integración en cálculo multivariable se extiende a integrales dobles y triples, que se utilizan para calcular volúmenes bajo superficies y otras cantidades relacionadas.

Integrales dobles

Una integral doble sobre una región D en el plano xy para una función f(x, y) se representa y calcula como:

∬ d f(x, y) dA

Esto calcula el volumen bajo la superficie f(x, y) sobre la región D

Ejemplo

Para encontrar la integral de f(x, y) = x^2 + y^2 sobre la región 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1, tenemos:

∬ D (x^2 + y^2) dA = ∫ 0 1 ∫ 0 1 (x^2 + y^2) dy dx

Integrales triples

Las integrales triples extienden este concepto a espacios tridimensionales. Para una función f(x, y, z), la integral triple se da por:

∭ V f(x, y, z) dv

Calcula volumen o área en tres dimensiones.

Aplicación

El cálculo multivariable tiene muchas aplicaciones en física, ingeniería, economía y otros campos. Ayuda a comprender sistemas físicos con más de una variable.

Por ejemplo, el cálculo multivariable se utiliza en las ecuaciones de Maxwell para describir cómo los campos eléctricos y magnéticos interactúan en el espacio. También se utiliza en problemas de optimización donde se desea maximizar o minimizar una función con múltiples variables.


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