Теорема о дивергенции

Теорема о дивергенции, иногда называемая теоремой Гаусса или теоремой Остроградского, является фундаментальным утверждением в многомерном анализе. Она связывает дивергенцию векторного поля на замкнутой поверхности с потоком (или флюксом) этого поля. Эта теорема применяется в различных областях, таких как физика, инженерия и компьютерная графика. Давайте разберем эту теорему подробно, разложим её на более простые концепции и используем примеры для облегчения понимания.

Понимание дивергенции

Прежде чем углубиться в теорему, давайте на мгновение поймем, что означает "дивергенция" в математике. Дивергенция векторного поля — это скалярная функция, которая измеряет величину источника или стока поля в заданной точке, в простых терминах, насколько векторное поле отклоняется от или сходится к этой точке.

Рассмотрим трехмерное векторное поле F = (F₁, F₂, F₃). Дивергенция векторного поля F определяется как:

div( F ) = ∇ ⋅ F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

В этом выражении символ ∇ (набла) обозначает векторный дифференциальный оператор, и скалярное произведение с F дает дивергенцию.

Формулировка теоремы о дивергенции

Теорема о дивергенции утверждает:

Пусть F — векторное поле, непрерывно дифференцируемое в области V в ℝ³ с кусочно-гладкой границей S. Теорема о дивергенции связывает поток векторного поля через замкнутую поверхность S с дивергенцией векторного поля внутри объема V :

∫∫∫ V (∇ ⋅ F ) dV = ∫∫ S ( F ⋅ n ) dS

Где:

• dV — элемент дифференциального объема.
• dS — элемент дифференциальной поверхности.
• n — единичный вектор нормали, направленный наружу поверхности.

Визуальный пример

Чтобы понять эту теорему, представьте себе простую 3D сферу, такую как куб. Таким образом соотношение представляет:

Рассмотрим куб в 3D пространстве, где векторное поле F представляет поток жидкости или воздуха через куб. "Дивергенция" F в точке внутри куба говорит нам, сколько "жидкости" добавляется или удаляется в этой точке.

На этой диаграмме голубые стрелки указывают направления векторного поля внутри куба. Теория дивергенции помогает нам измерять чистый "выход" или "вход" поля через все грани куба, оценивая дивергенцию внутри и убеждаясь, что она соответствует потоку, исходящему из поверхности.

Алгоритм и пример расчета

Рассмотрим практический пример с простыми расчетами, чтобы проиллюстрировать применение теоремы о дивергенции:

Предположим, что у нас есть векторное поле F (x, y, z) = (x², y², z²) в сферическом объеме V радиуса R, центрированном в начале координат. Границей этого объема S является сама сфера.

Нам нужно проверить теорему о дивергенции, вычислив обе стороны уравнения:

Шаг 1: Вычислить дивергенцию F

Из определения дивергенции мы вычисляем:

div( F ) = ∂/∂x(x²) + ∂/∂y(y²) + ∂/∂z(z²) = 2x + 2y + 2z

Шаг 2: Оценить объемный интеграл

Мы выполняем расчет:

∫∫∫ V (2x + 2y + 2z) dV = ∫∫∫ V 2(x + y + z) dV

Из-за симметрии все члены, относящиеся к x, y и z, интегрируют к нулю на сфере из-за симметрии вокруг начала координат.

Шаг 3: Оценить поверхностный интеграл

Чтобы найти поверхностный интеграл, нам нужен внешний единичный вектор нормали n к сфере. Для сферы радиуса R в любой точке на поверхности n = (x/R, y/R, z/R).

Мы выполняем расчет:

∫∫ S ( F ⋅ n ) dS = ∫∫ S ((x², y², z²) ⋅ (x/R, y/R, z/R)) dS

Сложив это, мы получаем:

= ∫∫ S (x³/R + y³/R + z³/R) dS = 1/R ∫∫ S (x³ + y³ + z³) dS

Используя сферические координаты и интегрируя по сферической поверхности, этот интеграл становится константой, которая дает меру, как векторное поле ведет себя на границе.

Проверка теоремы

После вычисления обоих интегралов с каждой стороны уравнения для теоремы о дивергенции вы обнаружите, что при подходящих симметричных условиях, таких как сфера, оба вычисления дают одинаковый результат. Следовательно, теорема верна.

Примеры расчетов с геометрическими фигурами

Пример 1: Простой сектор куба

Давайте вычислим это для единичного куба, который, для простоты, определен в первой октанте, с вершинами в (0,0,0) и (1,1,1), где векторное поле F (x, y, z) = (x, y, z).

Объемный интеграл

Дивергенция следующая:

div( F ) = ∂/∂x(x) + ∂/∂y(y) + ∂/∂z(z) = 1 + 1 + 1 = 3

Объемный интеграл:

∫∫∫ V 3 dV = 3 × Объем куба = 3 × 1 = 3

Поверхностные интегралы

Для каждой грани куба рассмотрим ориентацию вектора и вычислим поток через грани и вклад в сумму:

Верхняя поверхность (граница z=1)

n = (0, 0, 1), F = (x, y, 1), F ⋅ n = 1 → Поток = ∫∫ x=0,1; y=0,1 1 dxdy = 1

Нижняя поверхность (граница z=0)

n = (0, 0, -1), F = (x, y, 0), F ⋅ n = 0 → Поток = 0

Аналогично, вычислите другие грани и найдите общий поток = 3.

И объемные, и поверхностные интегралы возвращают одно и то же значение, что подтверждает теорему о дивергенции.

Пример 2: Цилиндр с радиальным векторным полем

Рассмотрим векторное поле с круговой симметрией для цилиндрической области x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ h такое, что F (x, y, z) = (x, y, z²).

Объемный интеграл

div( F ) = ∂/∂x(x) + ∂/∂y(y) + ∂/∂z(z²) = 1 + 1 + 2z ∫∫∫ V (2 + 2z) dV по преобразованным цилиндрическим координатам.

Поверхностные интегралы

Исследуйте поток через боковые и верхние/нижние поверхности, применяя внешние нормали и интегрируя, подтверждая равенство с объемным подходом.

Заключение

Теорема о дивергенции прекрасно связывает поведение поля через замкнутую поверхность с его обобщенным источником/вытеснением в объеме. Переводя кажущиеся сложными 3D явления на язык поверхностных и объемных интегралов, она облегчает понимание и анализ в физике, особенно при оценке непрерывности жидкости или электромагнитных полей.

комментарии