Teorema da divergência

O teorema da divergência, às vezes conhecido como teorema de Gauss ou teorema de Ostrogradsky, é uma declaração fundamental no cálculo multivariável. Ele relaciona a divergência de um campo vetorial sobre uma superfície fechada ao fluxo (ou fluxo) desse campo. Este teorema é usado em vários campos, como física, engenharia e computação gráfica. Vamos entender este teorema em detalhes, dividi-lo em conceitos mais acessíveis e usar exemplos para ajudar na compreensão.

Entendendo divergência

Antes de mergulharmos profundamente no teorema, vamos levar um momento para entender o que "divergência" significa em matemática. A divergência de um campo vetorial é uma função escalar que mede a magnitude da fonte ou sumidouro do campo em um determinado ponto, em termos simples, quanto o campo vetorial diverge ou converge para aquele ponto.

Considere um campo vetorial tridimensional F = (F₁, F₂, F₃) A divergência do campo vetorial F é dada por:

div( F ) = ∇ ⋅ F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

Nesta expressão, o símbolo ∇ (nabla) denota o operador diferencial vetorial, e o produto escalar com F nos dá a divergência.

Declaração do teorema da divergência

O teorema da divergência afirma:

Seja F um campo vetorial continuamente diferenciável sobre uma região V em ℝ³ com uma fronteira suavemente seccionada S. O teorema da divergência relaciona o fluxo do campo vetorial através da superfície fechada S à divergência do campo vetorial dentro do volume V:

∫∫∫ V (∇ ⋅ F ) dV = ∫∫ S ( F ⋅ n ) dS

Onde:

• dV é o elemento de volume diferencial.
• dS é o elemento de superfície diferencial.
• n é o vetor normal unitário apontando para fora na superfície.

Exemplo visual

Para entender este teorema, imagine uma esfera 3D simples, como um cubo. Aqui está o que a relação representa:

Considere um cubo no espaço 3D onde o campo vetorial F representa o fluxo de fluido ou ar através do cubo. A "divergência" de F em um ponto dentro do cubo nos diz quanto "fluido" está sendo adicionado ou removido naquele ponto.

Neste diagrama, as setas azuis indicam as direções do campo vetorial dentro do cubo. A teoria da divergência nos ajuda a medir o "fluxo" líquido de entrada ou saída do campo através de todas as faces do cubo, avaliando a divergência interna e garantindo que ela corresponda ao fluxo que emana da superfície.

Exemplo de algoritmo e cálculo

Vamos considerar um exemplo prático com cálculos simples para ilustrar a aplicação do teorema da divergência:

Suponha que temos um campo vetorial F (x, y, z) = (x², y², z²) em um volume esférico V de raio R centrado na origem. A fronteira deste volume S é a própria esfera.

Precisamos verificar o teorema da divergência calculando ambos os lados da equação:

Passo 1: Calcular a divergência de F

Na definição de divergência, calculamos:

div( F ) = ∂/∂x(x²) + ∂/∂y(y²) + ∂/∂z(z²) = 2x + 2y + 2z

Passo 2: Avaliar a integral de volume

Fazemos o cálculo:

∫∫∫ V (2x + 2y + 2z) dV = ∫∫∫ V 2(x + y + z) dV

Devido à simetria, todos os termos relacionados a x, y e z integrarão a zero na esfera por causa da simetria em torno da origem.

Passo 3: Avaliar a integral de superfície

Para encontrar a integral de superfície, precisamos do vetor unitário normal externo n para a esfera. Para uma esfera de raio R, em qualquer ponto da superfície, n = (x/R, y/R, z/R).

Fazemos o cálculo:

∫∫ S ( F ⋅ n ) dS = ∫∫ S ((x², y², z²) ⋅ (x/R, y/R, z/R)) dS

Somando isto, obtemos:

= ∫∫ S (x³/R + y³/R + z³/R) dS = 1/R ∫∫ S (x³ + y³ + z³) dS

Usando coordenadas esféricas e integrando sobre uma superfície esférica, essa integral se torna uma constante que fornece uma medida de como o campo vetorial se comporta na fronteira.

Verificação do teorema

Após calcular as duas integrais de cada lado da equação do teorema da divergência, você descobrirá que, sob condições simétricas apropriadas, como uma esfera, ambos os cálculos fornecem o mesmo resultado. Portanto, o teorema é verdadeiro.

Exemplos de cálculos com formas geométricas

Exemplo 1: Cubo de setor simples

Vamos calcular isto para um cubo unitário, que para simplificar é definido no primeiro octante, com vértices em (0,0,0) e (1,1,1), onde o campo vetorial F (x, y, z) = (x, y, z)

Integral de volume

A divergência é a seguinte:

div( F ) = ∂/∂x(x) + ∂/∂y(y) + ∂/∂z(z) = 1 + 1 + 1 = 3

A integral de volume é a seguinte:

∫∫∫ V 3 dV = 3 × Volume do cubo = 3 × 1 = 3

Integrando superfícies

Para cada face do cubo, considere a orientação do vetor e calcule o fluxo sobre as faces e a contribuição para a soma:

Superfície superior (face z=1)

n = (0, 0, 1), F = (x, y, 1), F ⋅ n = 1 → Fluxo = ∫∫ x=0,1; y=0,1 1 dxdy = 1

Superfície inferior (face z=0)

n = (0, 0, -1), F = (x, y, 0), F ⋅ n = 0 → Fluxo = 0

Calcular de forma semelhante os outros braços e encontrar o fluxo total = 3.

Tanto as integrais de volume quanto de superfície retornam o mesmo valor, o que satisfaz o teorema da divergência.

Exemplo 2: Cilindro com campo vetorial radial

Considere um campo vetorial com simetria circular para uma região cilíndrica x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ h tal que F (x, y, z) = (x, y, z²)

Integral de volume

div( F ) = ∂/∂x(x) + ∂/∂y(y) + ∂/∂z(z²) = 1 + 1 + 2z ∫∫∫ V (2 + 2z) dV sobre coordenadas cilíndricas transformadas.

Integrando superfícies

Investigar o fluxo através das superfícies lateral e superior/inferior aplicando normais externas e integrando, confirmando a equivalência com a abordagem de volume.

Conclusão

O teorema da divergência conecta de maneira maravilhosa o comportamento de um campo através de uma superfície fechada à sua fonte/expulsão generalizada em um volume. Ao traduzir fenômenos tridimensionais aparentemente complexos nas linguagens de integrais de superfícies e volumes, facilita a compreensão e análise na física, especialmente ao avaliar a continuidade de fluidos ou campos eletromagnéticos.

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