発散定理

発散定理（Gaussの定理やOstrogradskyの定理とも呼ばれる）は、多変数微積分における基本的な命題です。これは閉じた表面におけるベクトル場の発散を、その場の流束に関連付けます。この定理は、物理学、工学、コンピュータグラフィックスなどの様々な分野で使用されます。この定理を詳しく理解し、よりアクセスしやすい概念に分解して、例を用いて理解を助けましょう。

発散の理解

定理を深く掘り下げる前に、「発散」が数学で何を意味するかを理解しましょう。ベクトル場の発散はスカラー関数であり、特定の点における場の源または沈みの大きさを測定します。簡単に言えば、ベクトル場がその点からどれだけ発散しているか、またはどれだけ収束しているかを示します。

3次元ベクトル場 F = (F₁, F₂, F₃) を考えてみましょう。ベクトル場 F の発散は次のように表されます：

div( F ) = ∇ ⋅ F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

この表現では、記号 ∇ （ナブラ）はベクトル微分演算子を示し、F とのドット積によって発散が求められます。

発散定理の命題

発散定理は次のように述べています：

F を ℝ³ 内の領域 V における連続的微分可能なベクトル場とします。この領域の境界 S は部分的に滑らかであるとします。発散定理は、閉じた表面 S を通るベクトル場の流束を、体積 V 内のベクトル場の発散に関連付けます：

∫∫∫ V (∇ ⋅ F ) dV = ∫∫ S ( F ⋅ n ) dS

ここで：

• dV は微小体積要素です。
• dS は微小表面要素です。
• n は表面上外向きの単位法線ベクトルです。

視覚的な例

この定理を理解するために、立方体のような単純な3D球体を想像してみてください。この関係が表すものは次のとおりです：

3D空間において、ベクトル場 F が立方体を通る流体や空気の流れを表すとします。立方体内のある点での F の「発散」は、その点でどれだけ「流体」が追加されたり除去されたりしているかを示します。

この図では、青い矢印は立方体内のベクトル場の方向を示します。発散理論は、内部の発散を評価し、それが表面からの流出と一致することを確認することによって、立方体のすべての面を通る場の「純流出」または「流入」を測定するのに役立ちます。

アルゴリズムと計算の例

発散定理の適用を示すために、簡単な計算を伴う実際的な例を考えてみましょう：

原点で半径 R を持つ球状体積 V 内のベクトル場 F (x, y, z) = (x², y², z²) を持つとします。この体積の境界 S は球体自体です。

私たちは定理の両側を計算して検証する必要があります：

ステップ1: F の分散を計算する

発散の定義から次のように計算します：

div( F ) = ∂/∂x(x²) + ∂/∂y(y²) + ∂/∂z(z²) = 2x + 2y + 2z

ステップ2: 体積積分を評価する

次の計算を行います：

∫∫∫ V (2x + 2y + 2z) dV = ∫∫∫ V 2(x + y + z) dV

対称性のため、x、y、z に関連するすべての項は原点周りの対称性により球面上でゼロに積分されます。

ステップ3: 表面積分を評価

表面積分を見つけるためには、球面への外向き単位法線ベクトル n が必要です。半径 R の球面での任意の点において、n = (x/R, y/R, z/R) です。

計算を行います：

∫∫ S ( F ⋅ n ) dS = ∫∫ S ((x², y², z²) ⋅ (x/R, y/R, z/R)) dS

これを足すと次のようになります：

= ∫∫ S (x³/R + y³/R + z³/R) dS = 1/R ∫∫ S (x³ + y³ + z³) dS

球面座標を使用し、球面表面上で積分すると、この積分は境界でのベクトル場の挙動を示す定数になります。

定理の検証

発散定理の等式の両側で積分を計算した後、球のような適切な対称性条件の下で、どちらの計算も同じ結果を示します。したがって、この定理は正しいと言えます。

幾何学的形状を用いた計算例

例1: 単純なセクターキューブ

便宜上、最初のオクタントに定義された単位キューブを計算してみましょう。頂点は (0,0,0) から (1,1,1) まであり、ベクトル場は F (x, y, z) = (x, y, z) です。

体積積分

分散は次のとおりです：

div( F ) = ∂/∂x(x) + ∂/∂y(y) + ∂/∂z(z) = 1 + 1 + 1 = 3

体積積分は次のとおりです：

∫∫∫ V 3 dV = 3 × 体積 = 3 × 1 = 3

表面積分

キューブの各面についてベクトルの向きを考慮し、面を超える流束と和への寄与を計算します：

上面（z=1面）

n = (0, 0, 1), F = (x, y, 1), F ⋅ n = 1 → 流束 = ∫∫ x=0,1; y=0,1 1 dxdy = 1

下面（z=0面）

n = (0, 0, -1), F = (x, y, 0), F ⋅ n = 0 → 流束 = 0

同様に、他の面を計算し、総流束 = 3 を求めます。

体積および表面積分は同じ値を返し、発散定理を満たします。

例2: 半径方向ベクトル場を持つ円筒

円筒形領域 x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ h の円形対称性を持つベクトル場 F (x, y, z) = (x, y, z²) を考察します。

体積積分

div( F ) = ∂/∂x(x) + ∂/∂y(y) + ∂/∂z(z²) = 1 + 1 + 2z ∫∫∫ V (2 + 2z) dV を変換された円筒座標系で実行。

表面積分

側面および上面/下面を超えた流れを調査し、外部法線を適用し、体積アプローチと同等性を確認します。

結論

発散定理は、閉じた表面を通る場の振る舞いを、その体積内の一般化された源/排出と美しく結びつけます。一見複雑な3D現象を、表面および体積積分という言語に変換することで、物理学、とりわけ流体の連続性や電磁場の評価を行う際の理解と分析を容易にします。

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