विसरण प्रमेय

विसरण प्रमेय, जिसे कभी-कभी गॉस प्रमेय या ओस्ट्रोग्रैडस्की प्रमेय के रूप में जाना जाता है, बहुविध कलन में एक मौलिक कथन है। यह एक बंद सतह पर एक सदिश क्षेत्र के विसरण को उस क्षेत्र के फ्लक्स (या प्रवाह) से संबंधित करता है। इस प्रमेय का उपयोग भौतिकी, इंजीनियरिंग, और कम्प्यूटर ग्राफिक्स जैसे विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है। आइए इस प्रमेय को विस्तार से समझें, इसे और अधिक सुलभ अवधारणाओं में विभाजित करें और समझने में मदद के लिए उदाहरणों का उपयोग करें।

विसरण को समझना

प्रमेय में गहराई में जाने से पहले, चलिए एक पल लेते हैं और समझते हैं कि गणित में "विसरण" का क्या अर्थ है। सदिश क्षेत्र का विसरण एक अदिश फलन होता है जो दिए गए बिंदु पर क्षेत्र के स्रोत या सिंक की परिमाण को मापता है, सरल शब्दों में, कितनी मात्रा में सदिश क्षेत्र उस बिंदु से विचलन करता है या उसकी ओर अभिसरण करता है।

एक त्रिविमीय सदिश क्षेत्र F = (F₁, F₂, F₃) को देखें, सदिश क्षेत्र F का विसरण निम्नलिखित है:

div( F ) = ∇ ⋅ F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

इस अभिव्यक्ति में, संकेत ∇ (नाबला) सदिश अवकलन संचालक को दर्शाता है, और F के साथ बिंदु गुणन हमें विसरण देता है।

विसरण प्रमेय का कथन

विसरण प्रमेय कहता है:

मान लें F एक लगातार अवकलनीय सदिश क्षेत्र है किसी क्षेत्र V में ℝ³ के साथ एक टुकड़ावार चिकना सीमांत S प्रसरण प्रमेय संबंधित है सदिश क्षेत्र के प्रवाह से बंद सतह S पर, सदिश क्षेत्र के विसरण से क्षेत्रफल V के भीतर :

∫∫∫ V (∇ ⋅ F ) dV = ∫∫ S ( F ⋅ n ) dS

जहां:

• dV भिन्नात्मक आयतन तत्व है।
• dS भिन्नात्मक सतह तत्व है।
• n सतह पर बाहर की ओर संकेत करता हुआ इकाई सामान्य सदिश है।

दृश्य उदाहरण

इस प्रमेय को समझने के लिए एक सरल त्रिविमीय गोला, जैसे एक घन की कल्पना करें। यहां क्या संबंध का तात्पर्य है:

त्रिविमीय स्थान में एक घन का विचार करें जहां सदिश क्षेत्र F का प्रतिनिधित्व करता है तरल या हवा का प्रवाह घन के माध्यम से। F का "विसरण" घन के भीतर एक बिंदु पर हमें बताता है कि उस बिंदु पर कितना "तरल" जोड़ा या हटाया जा रहा है।

इस आरेख में, नीले तीर घन के भीतर सदिश क्षेत्र की दिशाओं को संकेत करते हैं। विसरण सिद्धांत हमें सभी चेहरों पर क्षेत्र के शुद्ध "आउटफ्लो" या "इनफ्लो" को मापने में मदद करता है, विसरण का मूल्यांकन करके और यह सुनिश्चत करता है कि यह सतह से उत्पन्न होने वाले प्रवाह से मेल खाता है।

कलन विधि और उदाहरण

आइए साधारण गणनाओं के साथ एक व्यावहारिक उदाहरण देखें ताकि विसरण प्रमेय के अनुप्रयोग को समझाया जा सके:

मान लीजिए हमारे पास एक सदिश क्षेत्र F (x, y, z) = (x², y², z²) एक गोलाकार क्षेत्रफल V में त्रिज्या R के साथ केंद्र में मूल बिंदु पर। इस क्षेत्रफल की सीमा S खुद गोला है।

हमें विसरण प्रमेय को सत्यापित करने की आवश्यकता है द्वारा दोनों पक्षों का हिसाब निकालकर:

चरण 1: F की विसरण की गणना

विसरण की परिभाषा से, हम गणना करते हैं:

div( F ) = ∂/∂x(x²) + ∂/∂y(y²) + ∂/∂z(z²) = 2x + 2y + 2z

चरण 2: आयतन इंटीग्रल का मूल्यांकन

हम गणना करते हैं:

∫∫∫ V (2x + 2y + 2z) dV = ∫∫∫ V 2(x + y + z) dV

समरूपता की वजह से, सभी शब्द x, y और zसे संबंधित शून्य हो जाएंगे गोले पर केंद्र के चारों ओर समरूपता के कारण।

चरण 3: सतह इंटीग्रल का मूल्यांकन

सतह इंटीग्रल ढूँढने के लिए, हमें गोले की बाहरी सामान्य इकाई सदिश n की आवश्यकता है। एक गोले की त्रिज्या R, पर किसी भी बिंदु पर सतह पर, n = (x/R, y/R, z/R)।

हम गणना करते हैं:

∫∫ S ( F ⋅ n ) dS = ∫∫ S ((x², y², z²) ⋅ (x/R, y/R, z/R)) dS

इसका इस्तेमाल कर, हम पाते हैं:

= ∫∫ S (x³/R + y³/R + z³/R) dS = 1/R ∫∫ S (x³ + y³ + z³) dS

गोलाकार निर्देशांक का उपयोग करके और एक गोलाकार सतह के ऊपर एकीकृत करते हुए, यह इंटीग्रल एक स्थिरांक बन जाता है जो यह मापता है कि सतह पर सदिश क्षेत्र कैसे व्यवहार करता है।

प्रमेय की सत्यापन

प्रमेय के लिए समीकरण के प्रत्येक पक्ष पर दोनों इंटीग्रलों की गणना के बाद, आप पाएंगे कि उचित समरूप शर्तों के तहत, जैसे एक गोले के लिए, दोनों गणनाएं समान परिणाम देती हैं। इसलिए, प्रमेय सत्य है।

ज्यामितीय आकारों के साथ गणनाओं के उदाहरण

उदाहरण 1: साधारण खंड घन

हम इसे एक इकाई घन के लिए गणना करते हैं, जिसे सरलता के लिए पहले ऑक्टेंट में परिभाषित किया गया है, जिनके शिखर बिंदु (0,0,0) और (1,1,1) पर हैं, जहां सदिश क्षेत्र F (x, y, z) = (x, y, z)

आयतन इंटीग्रल

विसरण इस प्रकार है:

div( F ) = ∂/∂x(x) + ∂/∂y(y) + ∂/∂z(z) = 1 + 1 + 1 = 3

आयतन इंटीग्रल इस प्रकार है:

∫∫∫ V 3 dV = 3 × घन का आयतन = 3 × 1 = 3

सतह इंटीग्रल

घन के प्रत्येक चेहरे के लिए, सदिश के अभिविन्यास का ध्यान रखें और चेहरों पर प्रवाह की गणना करें और कुल में योगदान:

ऊपरी सतह (z=1 चेहरा)

n = (0, 0, 1), F = (x, y, 1), F ⋅ n = 1 → फ्लक्स = ∫∫ x=0,1; y=0,1 1 dxdy = 1

नीचे की सतह (z=0 चेहरा)

n = (0, 0, -1), F = (x, y, 0), F ⋅ n = 0 → फ्लक्स = 0

इसी तरह, अन्य हथियारों की गणना करें और कुल फ्लक्स = 3 खोजें।

दोनों आयतन और सतह इंटीग्रल समान मूल्य लौटाते हैं, जो विसरण प्रमेय को संतुष्ट करता है।

उदाहरण 2: रेडियल सदिश क्षेत्र के साथ सिलिंडर

एक वृतीय समरूपता के साथ सदिश क्षेत्र को के लिए नियत उन्नति अधिकांश प्रक्रिया में वृत्तीय आयाम जांचें और सत्यापित करें कि यह आयतन नीति के साथ तुल्य है।

5: वृत्तीय इंटीग्रल की कमी;

निष्कर्ष

विसरण प्रमेय सुंदर तरीके से सतह के माध्यम से एक क्षेत्र के व्यवहार को उसके सामान्यीकृत स्रोत/बहिर्गमन के साथ जोड़ता है। सतह और आयतन इंटीग्रलों की भाषा में लगने वाले जटिल त्रिविमीय घटनाओं का अनुवाद करके, यह भौतिकी में समझ और विश्लेषण की सुविधा प्रदान करता है, विशेष रूप से जब तरल निरंतरता या विद्युत चुंबकीय क्षेत्रों का आकलन करना होता है।

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