Teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia, a veces conocido como el teorema de Gauss o el teorema de Ostrogradsky, es una declaración fundamental en cálculo multivariable. Relaciona la divergencia de un campo vectorial sobre una superficie cerrada con el flujo de ese campo. Este teorema se utiliza en varios campos como la física, la ingeniería y los gráficos por computadora. Vamos a entender este teorema en detalle, desglosarlo en conceptos más accesibles y usar ejemplos para ayudar en la comprensión.

Entendiendo la divergencia

Antes de profundizar en el teorema, tomemos un momento para entender qué significa "divergencia" en matemáticas. La divergencia de un campo vectorial es una función escalar que mide la magnitud de la fuente o sumidero del campo en un punto dado; en términos simples, cuánto el campo vectorial diverge o converge hacia ese punto.

Considere un campo vectorial tridimensional F = (F₁, F₂, F₃). La divergencia del campo vectorial F se da por:

div( F ) = ∇ ⋅ F = ∂F₁/∂x + ∂F₂/∂y + ∂F₃/∂z

En esta expresión, el símbolo ∇ (nabla) denota el operador diferencial vectorial, y el producto punto con F nos da la divergencia.

Declaración del teorema de la divergencia

El teorema de la divergencia establece:

Sea F un campo vectorial continuamente diferenciable sobre una región V en ℝ³ con una frontera suavemente fragmentada S. El teorema de la divergencia relaciona el flujo del campo vectorial a través de la superficie cerrada S con la divergencia del campo vectorial dentro del volumen V:

∫∫∫ V (∇ ⋅ F ) dV = ∫∫ S ( F ⋅ n ) dS

Dónde:

• dV es el elemento de volumen diferencial.
• dS es el elemento de superficie diferencial.
• n es el vector normal unitario apuntando hacia afuera en la superficie.

Ejemplo visual

Para entender este teorema, imagine una esfera simple en 3D como un cubo. Esto es lo que representa la relación:

Considere un cubo en el espacio 3D donde el campo vectorial F representa el flujo de fluido o aire a través del cubo. La "divergencia" de F en un punto dentro del cubo nos dice cuánto "fluido" se está agregando o quitando en ese punto.

En este diagrama, las flechas azules indican las direcciones del campo vectorial dentro del cubo. La teoría de la divergencia nos ayuda a medir el "flujo" neto de campo a través de todas las caras del cubo, evaluando la divergencia dentro y asegurando que coincida con el flujo emanado de la superficie.

Ejemplo de algoritmo y cálculo

Consideremos un ejemplo práctico con cálculos simples para ilustrar la aplicación del teorema de la divergencia:

Supongamos que tenemos un campo vectorial F (x, y, z) = (x², y², z²) en un volumen esférico V de radio R centrado en el origen. La frontera de este volumen S es la esfera en sí.

Necesitamos verificar el teorema de la divergencia calculando ambos lados de la ecuación:

Paso 1: Calcular la divergencia de F

Desde la definición de divergencia, calculamos:

div( F ) = ∂/∂x(x²) + ∂/∂y(y²) + ∂/∂z(z²) = 2x + 2y + 2z

Paso 2: Evaluar la integral de volumen

Llevamos a cabo el cálculo:

∫∫∫ V (2x + 2y + 2z) dV = ∫∫∫ V 2(x + y + z) dV

Debido a la simetría, todos los términos relacionados con x, y y z se integrarán a cero en la esfera debido a la simetría alrededor del origen.

Paso 3: Evaluar la integral de superficie

Para encontrar la integral de superficie, necesitamos el vector normal unitario externo n a la esfera. Para una esfera de radio R, en cualquier punto de la superficie, n = (x/R, y/R, z/R).

Llevamos a cabo el cálculo:

∫∫ S ( F ⋅ n ) dS = ∫∫ S ((x², y², z²) ⋅ (x/R, y/R, z/R)) dS

Sumando esto, obtenemos:

= ∫∫ S (x³/R + y³/R + z³/R) dS = 1/R ∫∫ S (x³ + y³ + z³) dS

Usando coordenadas esféricas e integrando sobre una superficie esférica, esta integral se convierte en una constante que da una medida de cómo se comporta el campo vectorial en la frontera.

Verificación del teorema

Después de calcular ambas integrales en cada lado de la ecuación para el teorema de la divergencia, encontrará que bajo condiciones simétricas apropiadas, como una esfera, ambos cálculos dan el mismo resultado. Por lo tanto, el teorema es verdadero.

Ejemplos de cálculos con formas geométricas

Ejemplo 1: Cubo de sector simple

Calculemos esto para un cubo unitario, que para simplificar está definido en el primer octante, con vértices en (0,0,0) y (1,1,1), donde el campo vectorial F (x, y, z) = (x, y, z)

Integral de volumen

La desviación es la siguiente:

div( F ) = ∂/∂x(x) + ∂/∂y(y) + ∂/∂z(z) = 1 + 1 + 1 = 3

La integral de volumen es la siguiente:

∫∫∫ V 3 dV = 3 × Volumen del cubo = 3 × 1 = 3

Integrales de superficie

Para cada cara del cubo, considere la orientación del vector y calcule el flujo sobre las caras y la contribución a la suma:

Superficie superior (cara z=1)

n = (0, 0, 1), F = (x, y, 1), F ⋅ n = 1 → Flujo = ∫∫ x=0,1; y=0,1 1 dxdy = 1

Superficie inferior (cara z=0)

n = (0, 0, -1), F = (x, y, 0), F ⋅ n = 0 → Flujo = 0

De manera similar, calcule los otros brazos y encuentre el flujo total = 3.

Tanto las integrales de volumen y de superficie devuelven el mismo valor, lo que satisface el teorema de la divergencia.

Ejemplo 2: Cilindro con campo vectorial radial

Considere un campo vectorial con simetría circular para una región cilíndrica x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ h tal que F (x, y, z) = (x, y, z²)

Integral de volumen

div( F ) = ∂/∂x(x) + ∂/∂y(y) + ∂/∂z(z²) = 1 + 1 + 2z ∫∫∫ V (2 + 2z) dV sobre coordenadas cilíndricas transformadas.

Integrales de superficie

Investigue el flujo a través de las superficies laterales y superiores/inferiores aplicando normales externas e integrando, confirmando la equivalencia con el enfoque de volumen.

Conclusión

El teorema de la divergencia conecta bellamente el comportamiento de un campo a través de una superficie cerrada con su fuente/expulsión generalizada en un volumen. Al traducir fenómenos 3D aparentemente complejos en los lenguajes de integrales de superficie y volumen, facilita la comprensión y el análisis en física, especialmente al evaluar la continuidad del fluido o los campos electromagnéticos.

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