स्टोक्स प्रमेय

स्टोक्स का प्रमेय वेक्टर कैलकुलस का एक महत्वपूर्ण परिणाम है जो किसी सतह पर वेक्टर क्षेत्र के सतही समाकलन को उस सतह की परिधि के साथ क्षेत्र की रेखीय समाकलन से जोड़ता है। यह प्रमेय जटिल सतही समाकलनों को सरल रेखीय समाकलनों में बदलने और इसके विपरीत करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण के रूप में कार्य करता है, जिससे गणनाएं आसान हो जाती हैं और क्षेत्रों और सतहों के व्यवहार की गहरी समझ प्राप्त होती है।

प्रमेय बताता है: यदि S एक अभिविन्यस्त, चिकनी सतह है जिसकी एक अभिविन्यस्त, बंद सीमा वक्र C है, और F एक वेक्टर क्षेत्र है जिसकी घटकों के लिए एक खुले क्षेत्र में S का समुच्चय आंशिक युग्मक हैं, तो:

∮_c f • dr = ∬_s curl f • ds

यहाँ, ∮_C उस वक्र C के साथ वेक्टर क्षेत्र F की रेखीय समाकलन को संकेतित करता है, curl F को F का कर्ल सदिशित करता है, और dS उस सतह S पर वेक्टर क्षेत्र है।

सूचनाओं को समझना

स्टोक्स के प्रमेय को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए इसमें शामिल आंकड़ों और शब्दों को समझें:

• वेक्टर क्षेत्र (F): एक कार्य जो अन्तरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को एक वेक्टर प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, F(x, y, z) = (P, Q, R) जहाँ P, Q, और R क्रामाांक x, y, और z के कार्य हैं।
• कर्ल (curl F): एक वेक्टर जो 3D वेक्टर क्षेत्र की चक्रवृत्तीय घूर्णन का वर्णन करता है। यह गणना की जाती है curl F = ( ∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y )
• सतही समाकलन (जैसे ∬): एक समाकलन जिसमें हम एक सतह पर समाकलित करते हैं। स्टोक्स प्रमेय के लिए, सतही समाकलन उस सतह के प्रत्येक बिंदु पर कर्ल के लंबवत घटक का ख्याल रखता है।
• रेखीय समाकलन (जैसे ∮): एक समाकलन जो एक वक्र या रेखा पर समाकलन को सम्मिलित करता है।
• सतह (S): एक द्वै वंशीक मणिपुंज जो मूलतः 2D आकार जैसे कागज का टुकड़ा अथवा समुद्र की लहर है। गणित में, ये मणिपुंज अनंत विशाल हो सकते हैं और समीकरणों द्वारा वर्णित हो सकते हैं।
• सीमा वक्र (C): वह बंद वक्र जो सतह S की परिधि रेखांकित करता है।

अब जब हमने प्रमेय के मुख्य घटकों और चर को समझ लिया है, स्टोक्स का प्रमेय का मुख्य उद्देश्य इन दो प्रकारों के समाकलनों को समान करना है - सतह समाकलन सतह S पर और रेखीय समाकलन परिधि C के चारों ओर।

दृष्टांत और कल्पनाएँ

स्टोक्स के प्रमेय को अंतःकरण से समझने के लिए, निम्नलिखित दृष्टांत पर विचार करें: एक कपड़े के टुकड़े जैसी सतह पर बहने वाली हवा के क्षेत्र की कल्पना करें, जहाँ क्षेत्र में प्रत्येक वेक्टर उस बिंदु पर हवा की दिशा और गति दोनों का प्रतिनिधित्व करता है। वक्र C कपड़े की परिधि का प्रतिनिधित्व करता है। स्टोक्स का प्रमेय हमें बताता है कि कपड़े की सतह पर हवा की "भंवर" प्रभाव (जैसे curl F द्वारा प्रदर्शित) परिधि के चारों ओर मापा गया समग्र प्रभाव के बराबर है।

आइए इसे स्पष्ट करने के लिए एक दृश्य उदाहरण का उपयोग करें। कपड़े के आयताकार टुकड़े को देखें जिसकी किनारी एक सीमा वक्र बनाते हैं:

दृश्यांकन में, लाल तीर सतह S पर वेक्टर क्षेत्र का संचालन संकेतित करते हैं। वक्र C के साथ रेखीय समाकलन सतह की परिधि के पथ के साथ इस वेक्टर क्षेत्र के प्रभावों के योग में शामिल होगा। हालांकि, S पर कर्ल की गणना स्टोक्स के प्रमेय द्वारा वर्णित सरलीकरण की अनुमति देता है: इस 3D जटिलता को 2D सीमा संरचना में बदलना।

स्टोक्स प्रमेय का अनुप्रयोग: एक उदाहरण

आइए एक उदाहरण काम करें ताकि हमारी समझ को और अधिक मजबूत किया जा सके:

मान लें कि हमारे पास एक वेक्टर क्षेत्र F = (xz, yz, z) है, और हम S एक ऐसा गोलिका का हिस्सा है x² + y² + z² = 1 के प्रथम अर्धचाप में, मतलब जहाँ x, y, z केवल अर्धात्मक और जहाँ z = 0 एक गोलाकार डिस्क है जिसका त्रिज्या 1 है।

सीमा वक्र C वह वृत्त है जो शीर्ष पर z = 1 पर होता है। हमें स्टोक्स के प्रमेय का उपयोग करके रेखीय समाकलन ∮_C F • dr का मूल्यांकन करना है।

पहले, आइए curl F की खोज करें :

F = (xz, yz, z)
curl F = (∂/∂y (z) - ∂/∂z (yz), ∂/∂z (xz) - ∂/∂x (z), ∂/∂x (yz) - ∂/∂y (xz))
       = (0 – y, x – 0, y – x)
       = (-y, x, y – x)

हमारे सतही समाकलन में योगदान देने वाला मुख्य घटक सतह के लंबवत घटक है (-y, x, yx)।

सतह z = 1 के लिए, हम सतह पर k घटक (yx) के दोगुने समाकलन का मूल्यांकन करते हैं।

∬_S curl F • dS = ∬_S (y-x) dS

आइए इस सतह में x² + y² = 1 को ध्रुवीय निर्देशांकों से प्रतिस्थापित करें: x = r cosθ, y = r sinθ, जहाँ r 0 से 1 तक जाता है और θ 0 से π/2 तक।

∬_s(yx)ds 
= ∫_(0)^(π/2)∫_(0)^(1) (r sinθ - r cosθ) r dr dθ
= ∫_(0)^(π/2)∫_(0)^(1) (r² sinθ - r² cosθ) dr dθ

आंतरिक समाकलन और फिर बाह्य समाकलन की गणना करके, हम पाते हैं कि क्षेत्र समाकलन वक्र C के चारों ओर रेखीय समाकलन के बराबर है, जिससे स्टोक्स के प्रमेय का सत्यापन होता है।

प्रमुख अवधारणाएं और प्रभाव

• स्टोक्स प्रमेय सतही समाकलनों को रेखीय समाकलनों में और इसके विपरीत बदलने में मदद करता है, जो महत्वपूर्ण होता है जब एक प्रकार की समाकलन की गणना सरल होती है।
• वेक्टर क्षेत्र curl क्षेत्र के भीतर घूर्णी व्यवहार के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करता है, जिसे अक्सर भौतिकी समस्याओं में लागू किया जाता है।
• ये प्रमेय कई मौलिक वेक्टर कैलकुलस के प्रमेयों का सामान्यीकरण करता है, जिसमें ग्रीन का प्रमेय और विचरण प्रमेय भी शामिल हैं।

मौसम पैटर्नों को समझने से लेकर विद्युतचुंबकीय क्षेत्रों के व्यवहार तक, स्टोक्स का प्रमेय मूल्यवान अंतर्दृष्टियाँ प्रदान करता है और वेक्टर क्षेत्रों की त्रि-आयामी समझ को द्वि-आयामी अभिकल्पनाओं से जोड़ता है।

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