Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Explicação do teorema de Green


O teorema de Green é um conceito importante no cálculo multi-variável, nomeado em homenagem ao matemático britânico George Green. Ele conecta a integral de linha ao redor de uma curva fechada simples a uma integral dupla sobre a região plana delimitada pela curva. Nesta explicação, vamos entender o teorema passo a passo, desmembrando ideias complexas em termos mais simples. Incluiremos exemplos e ilustrações para tornar o conceito mais acessível.

Entendendo o básico

Antes de mergulharmos no teorema de Green, vamos revisar alguns termos chave:

  • Integral de Linha: Esta é uma integral onde uma função é avaliada ao longo de uma curva. Você pode pensar nisso como somar pequenas partes dos valores da função ao longo da curva.
  • Integral Dupla: Esta é uma integral usada para calcular o volume sob uma superfície em duas dimensões. É como somar pequenos volumes retangulares sobre uma região no plano.
  • Curva fechada simples: Curva fechada simples é um caminho que começa e termina no mesmo ponto sem se cruzar.

Declaração do teorema de Green

A declaração formal do teorema de Green é a seguinte:

        Seja C uma curva fechada simples, positivamente orientada e suavemente contínua no plano, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q tiverem derivadas parciais contínuas na região aberta contendo D, então:

        ∮ C (P dx + Q dy) = ∬ D (Q x – P y ) dA

Nesta fórmula:

  • C é nossa curva fechada.
  • P e Q são funções de x e y.
  • Q x denota a derivada parcial de Q em relação a x.
  • P y representa a derivada parcial de P em relação a y.

Orientação e curvas positivamente orientadas

Orientação refere-se à direção que você se move ao longo da curva. No teorema de Green, "positivamente orientada" significa que, à medida que você se move ao longo da curva, a região D está sempre à sua esquerda. Pense nisso como caminhar ao redor de um campo, com o campo sempre à sua esquerda.

Exemplo simples

Vamos considerar um exemplo simples. Imagine uma curva C que forma uma borda quadrada com cantos em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1). Assuma que nossas funções são P(x, y) = -y e Q(x, y) = x.

Primeiro, calcule a integral de linha:

        ∮ c (−y dx + x dy)

Divida em quatro partes:

  • Segmento 1: (0,0) a (1,0)
  • Seção 2: de (1,0) a (1,1)
  • Seção 3: de (1,1) a (0,1)
  • Seção 4: de (0,1) a (0,0)

Integração por seção

Calcule cada seção:

Seção 1: (0,0) a (1,0)

        y = 0, dy = 0, x = t, dx = dt, t vai de 0 a 1
        ∫ 0 1 (-y dx + x dy) = ∫ 0 1 (0 dt) = 0

Bloco 2: (1,0) a (1,1)

        x = 1, dx = 0, y = t, dy = dt, t vai de 0 a 1
        ∫ 0 1 (-y dx + x dy) = ∫ 0 1 (1 dt) = 1

Bloco 3: (1,1) a (0,1)

        y = 1, dy = 0, x = 1-t, dx = -dt, t vai de 0 a 1
        ∫ 0 1 (-y dx + x dy) = ∫ 0 1 (-1 * -dt) = ∫ 0 1 dt = 1

Seção 4: (0,1) a (0,0)

        x = 0, dx = 0, y = 1-t, dy = -dt, t vai de 0 a 1
        ∫ 0 1 (−y dx + x dy) = 0

A integral de linha total é:

        0 + 1 + 1 + 0 = 2

Integral dupla sobre D

Em seguida, calculamos a integral dupla:

        ∬ d (q x − p y ) dA
        q = x, p = -y, q x = 1, p y = -1
        ∬ d (1 - (-1)) dA = ∬ d 2 dA

A área D é o quadrado unitário, então:

        ∬ 0 1 ∬ 0 1 2 dx dy = 2

Os resultados coincidem! Isto demonstra o teorema de Green usando um caso simples.

Visualização com gráficos

0,0 1.0 1,1 0.1

Explicação do teorema de Green

Basicamente, o teorema de Green fornece uma relação entre a circulação ao redor de um caminho fechado e a soma do rotacional sobre o campo dentro do caminho. No cálculo vetorial, ele nos ajuda a entender campos rotacionais, campos conservativos e fluxo.

Aplicações e significado

O teorema de Green é útil em várias áreas, como física, engenharia e gráficos computacionais. Ele simplifica o cálculo de campos, fluxos, e pode ser aplicado em dinâmica de fluidos.

Conclusão

O teorema de Green é uma linda ponte entre dois tipos de integrais, proporcionando uma compreensão profunda do comportamento de campos vetoriais. Com prática e paciência, sua aplicação se torna intuitiva e extremamente poderosa na simplificação de cálculos complexos.


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