グリーンの定理の説明
グリーンの定理は多変数解析において重要な概念であり、イギリスの数学者ジョージ・グリーンにちなんで命名されています。この定理は、単純閉曲線周りの線積分を、その曲線で囲まれた平面領域上の二重積分と結びつけます。この説明では、複雑なアイデアを簡潔に分解して定理を段階的に理解します。アクセスしやすくするために、例や図解を含めます。
基本の理解
グリーンの定理に入る前に、いくつかの重要な用語を確認しましょう:
- 線積分: これは、関数が曲線に沿って評価される積分です。曲線に沿った関数の値を小さく分けて足し合わせるようなものです。
- 二重積分: これは、2次元における表面の下の体積を計算するために使用される積分です。平面上の領域に小さな長方形の体積を足し合わせるようなものです。
- 単純閉曲線: 単純閉曲線は、自分自身を交差することなく、同じ点で開始および終了する経路です。
グリーンの定理の表現
グリーンの定理の正式な表現は次のとおりです:
Cを平面内の正の方向に向けた部分的に滑らかな単純閉曲線とし、DをCで囲まれた領域とします。PおよびQがDを含む開領域で連続的な偏微分を持つ場合、次のようになります:
∮ C (P dx + Q dy) = ∬ D (Q x – P y ) dA
この公式では:
Cは我々の閉曲線です。PとQはxとyの関数です。Q xはQのxに関する偏微分を示します。P yはPのyに関する偏微分を示します。
向きと正の向きの曲線
向きとは、曲線に沿って移動する方向を指します。グリーンの定理では、「正の向き」とは、曲線に沿って移動するときに領域Dが常に左側にあることを意味します。フィールドの周りを歩き、常にフィールドを左手に持つように考えてください。
簡単な例
簡単な例を考えてみましょう。Cという曲線が、(0,0)、(1,0)、(1,1)、(0,1)の角を持つ四角い境界を形成するとします。関数P(x, y) = -yおよびQ(x, y) = xを想定します。
まず、線積分を計算します:
∮ c (−y dx + x dy)
それを4つの部分に分けます:
- セグメント1:
(0,0)から(1,0) - セクション2:
(1,0)から(1,1) - セクション3:
(1,1)から(0,1) - セクション4:
(0,1)から(0,0)
セクション統合
各セクションをごとに計算します:
セクション1: (0,0)から(1,0)
y = 0, dy = 0, x = t, dx = dt, tが0から1まで変化
∫ 0 1 (-y dx + x dy) = ∫ 0 1 (0 dt) = 0
ブロック2: (1,0)から(1,1)
x = 1, dx = 0, y = t, dy = dt, tが0から1まで変化
∫ 0 1 (-y dx + x dy) = ∫ 0 1 (1 dt) = 1
ブロック3: (1,1)から(0,1)
y = 1, dy = 0, x = 1-t, dx = -dt, tが0から1まで変化
∫ 0 1 (-y dx + x dy) = ∫ 0 1 (-1 * -dt) = ∫ 0 1 dt = 1
セクション4: (0,1)から(0,0)
x = 0, dx = 0, y = 1-t, dy = -dt, tが0から1まで変化
∫ 0 1 (−y dx + x dy) = 0
線積分の合計は:
0 + 1 + 1 + 0 = 2
D上の二重積分
次に、二重積分を計算します:
∬ d (q x − p y ) dA
q = x, p = -y, q x = 1, p y = -1
∬ d (1 - (-1)) dA = ∬ d 2 dA
領域Dは単位正方形なので:
∬ 0 1 ∬ 0 1 2 dx dy = 2
結果が一致します！これは単純なケースを使用してグリーンの定理を証明しています。
グラフによる視覚化
グリーンの定理の説明
基本的に、グリーンの定理は閉じた経路とその経路内のフィールド上のカールの合計との間の関係を提供します。ベクトル解析では、回転フィールド、保存的フィールド、フローの理解に役立ちます。
応用と意義
グリーンの定理は、物理学、工学、コンピュータグラフィックスなどのさまざまな分野で有用です。フィールドやフローの計算を簡素化し、流体力学にも適用できます。
結論
グリーンの定理は、2種類の積分の間に美しい橋を架け、ベクトルフィールドの挙動に深い洞察を与えます。練習と忍耐で、その適用は直感的になり、複雑な計算を簡略化する上で非常に強力です。
コメント