सतह समाकलन

सतह समाकलन बहुचर गणना का एक अनिवार्य हिस्सा है, जो गणित की एक शाखा है जो एक से अधिक चरों के साथ कार्यों पर केंद्रित होती है। एक-चर गणना के विपरीत, जहां हम मुख्य रूप से एक चर के कार्यों से निपटते हैं, बहुचर गणना हमारे समझ को ऐसे कार्यों तक विस्तारित करता है जो दो या अधिक चरों पर निर्भर करते हैं। इस ढांचे के भीतर, सतह समाकलन एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं क्योंकि वे हमें त्रि-आयामी क्षेत्र में सतहों पर समाकलन करने की अनुमति देते हैं।

सतहों की समझ

सतह समाकलन में प्रवेश करने से पहले, हमें यह समझ होनी चाहिए कि सतहें क्या हैं और हम उन्हें गणितीय रूप से कैसे वर्णित कर सकते हैं। गणित में, एक सतह एक द्विआयामी आकार है जो त्रिआयामी क्षेत्र में मौजूद होती है। सामान्य उदाहरणों में गोले की सतह, एक विमान या एक बेलन शामिल हैं।

गणितीय रूप से, हम अक्सर पैरामीट्रिक समीकरणों का उपयोग करके सतहों का वर्णन करते हैं। सतह का पैरामीट्रिक प्रदर्शन दो पैरामीटर, अक्सर u और v के रूप में प्रदर्शित किए जाते हैं, और एक सदिश फ़ंक्शन r(u, v) सतह उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए, गोले का पैरामीट्रिक प्रदर्शन है:

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = (a sin(u) cos(v), a sin(u) sin(v), a cos(u))

जहां 0 ≤ u ≤ π और 0 ≤ v < 2π कोणों को परिभाषित करते हैं जो त्रिज्या a वाले गोले की सतह का माप करते हैं।

यह चित्र एक गोले को दर्शाता है जहां बिंदीदार रेखाएं अक्षों को प्रदर्शित करती हैं, और वृत्त एक 2D दृश्य में गोले की रूपरेखा को प्रदर्शित करता है।

सतह समाकलन की परिभाषा

सतह समाकलन समाकलन के अवधारणा को सतहों पर कार्यों तक विस्तारित करते हैं। एक-चर गणना में, हम कार्य के समाकलन को एक अंतराल पर गणना करते हैं, जो वक्र के नीचे का क्षेत्र दर्शाता है। सतह समाकलन में, हम एक सतह पर समाकलन करते हैं, न कि केवल एक अंतराल पर।

एक सतह समाकलन को सतह के सभी अत्यल्प टुकड़ों के योग के रूप में सोचा जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक को उस बिंदु पर कार्य के मान के द्वारा भारित किया जाता है। एक रेखा समाकलन की तरह, सतह समाकलन के दो प्रकार होते हैं:

• स्केलर क्षेत्रों के सतह समाकलन
• सदिश क्षेत्रों के सतह समाकलन

स्केलर क्षेत्रों के सतह समाकलन

इस मामले में, हम एक स्केलर क्षेत्र पर समाकलन करते हैं, जो एक फ़ंक्शन है जो सतह के प्रत्येक बिंदु को एक एकल मान निर्दिष्ट करता है। मान लें कि हमारे पास एक सतह S है जो एक स्केलर क्षेत्र f(x, y, z) और r(u, v) द्वारा निर्मित होती है। तब, S पर f का सतह समाकलन इस प्रकार दिया जाता है:

∬ S f(x, y, z) dS

जहां dS सतह क्षेत्र का एक छोटा तत्व है। सतह समाकलन इस प्रकार गणना किया जाता है:

∬ S f(x, y, z) dS = ∬ D f(r(u, v)) |r u × r v| dudv

यहां, D पैरामीटर क्षेत्र में वह क्षेत्र है जो सतह को वर्णित करता है, और r u और r v क्रमशः u और v के सापेक्ष r के आंशिक अवकलन हैं। क्रॉस प्रोडक्ट r u × r v सतह के लिए एक सामान्य सदिश देता है, और इसका मान क्षेत्र तत्व देता है।

उदाहरण

मान लें z = x² + y² द्वारा दी गई एक परबोला है जिसमें क्षेत्र x² + y² ≤ 1 है। हम इस सतह पर f(x, y, z) = z का सतह समाकलन खोजने की कोशिश करते हैं।

सतह का पैरामीट्रीकरण इस प्रकार किया जा सकता है:

r(u, v) = (u cos(v), u sin(v), u²)

जहां 0 ≤ u ≤ 1 और 0 ≤ v < 2π। अवकलन हैं:

r u = (cos(v), sin(v), 2u) r v = (-u sin(v), u cos(v), 0)

क्रॉस उत्पाद r u × r v की गणना कीजिए:

r u × r v = (2u² cos(v), 2u² sin(v), u)

इसका मान है:

|r u × r v| = √((2u² cos(v))² + (2u² sin(v))² + u²) = u√(4u² + 1)

f(x, y, z) = u² का सतह समाकलन बनता है:

∬ S z dS = ∬ 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v < 2π u² u√(4u² + 1) dudv

समाकलन के बाद, हम सतह समाकलन का मान प्राप्त करते हैं।

सदिश क्षेत्रों के सतह समाकलन

अब, एक सदिश क्षेत्र F(x, y, z) पर विचार करें। सतह S पर F का सतह समाकलन सतह के माध्यम से कुल फ्लक्स देता है। संकल्पना के रूप में, यह मापता है कि सदिश क्षेत्र सतह के माध्यम से कितना 'प्रवाह' करता है।

सदिश क्षेत्र का सतह समाकलन इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

∬ S F · dS

जहां dS एक सदिश है जो अभिमुख सतह का एक छोटा टुकड़ा दर्शाता है। डॉट प्रोडक्ट F · dS सतह के माध्यम से गुजरने वाले क्षेत्र के घटक को दर्शाता है।

गणितीय रूप से यह निम्नलिखित तरीके से गणना किया जाता है:

∬ S F · dS = ∬ D F(r(u, v)) · (r u × r v) dudv

उदाहरण

मान लें कि F(x, y, z) = (y, z, x) एक सदिश क्षेत्र है, और एक बेलन पर विचार करें जो x² + y² = 1, 0 ≤ z ≤ 1 से परिभाषित है। हम बेलन की वक्रित सतह के माध्यम से प्रवाह खोजना चाहते हैं।

बेलन सतह का पैरामीट्रीकरण इस प्रकार है:

r(u, v) = (cos(u), sin(u), v)

जहां 0 ≤ u < 2π और 0 ≤ v ≤ 1। अवकलन हैं:

r u = (-sin(u), cos(u), 0) r v = (0, 0, 1)

क्रॉस प्रोडक्ट:

r u × r v = (cos(u), sin(u), 0)

F(r(u, v)) और r u × r v के डॉट प्रोडक्ट का मान है:

F · (r u × r v) = (sin(v), v, cos(u)) · (cos(u), sin(u), 0) = v cos(u) sin(u)

यह समाकलन बनता है:

∬ 0 ≤ u < 2π, 0 ≤ v ≤ 1 v cos(u) sin(u) dudv

सतह के माध्यम से प्रवाह का समाकलन करें।

निष्कर्ष

सतह समाकलन बहुचर गणना में एक शक्तिशाली उपकरण हैं जो भौतिकी, अभियांत्रिकी और उससे आगे व्यापक अनुप्रयोग रखते हैं। वे हमें जटिल सतहों पर द्रव्यमान, फ्लक्स, विद्युत क्षेत्र, और भी बहुत कुछ की गणना करने की अनुमति देते हैं। गहरे तक अवधारणाओं को समझकर और विभिन्न उदाहरणों का अभ्यास करके, हम गणित और विज्ञान में सतह समाकलन के बहुमुखी और महत्व की सराहना कर सकते हैं।

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