Введение в множественное интегрирование

В многомерном исчислении, как и в одномерном, мы часто заинтересованы в нахождении целого из его частей. Когда мы имеем дело с функциями с более чем одной переменной, эта концепция распространяется на множественные интегралы. Одинарный интеграл или одномерный интеграл позволяет нам вычислять площади под кривыми. Аналогично, множественные интегралы позволяют вычислять площади, объемы или даже величины на аналогах более высокой размерности.

Множественные интегралы расширяют концепцию интегрирования на функции двух, трех или более переменных. Они важны в различных областях, таких как физика, инженерия и вероятность.

Двойные интегралы

Двойные интегралы являются одним из наиболее широко используемых типов множественных интегралов. Их применяют к функциям двух переменных, в основном для нахождения объемов под поверхностями или для вычисления площадей над областями на плоскости.

Концепция двойного интеграла

Рассмотрим непрерывную функцию f(x, y) в области D на плоскости xy. Двойной интеграл f по области D представляется следующим образом:

∬_D f(x, y) dA

где dA представляет собой маленький элемент площади в области D. Процесс нахождения двойного интеграла включает суммирование бесконечно малых вкладов функции f(x, y) по всей области.

Вычисление двойных интегралов

Чтобы вычислить двойной интеграл, сначала делим область D на субобласти меньшего размера, находим значение функции в этих субобластях, а затем суммируем их. Когда размеры субобластей стремятся к нулю, интеграл становится пределом этих сумм.

Визуальный пример: двойной интеграл

График выше показывает область D, по которой мы хотим вычислить двойной интеграл. Задача состоит в суммировании вкладов f(x, y) по этой области.

Если D можно описать как a ≤ x ≤ b и c ≤ y ≤ d, то двойной интеграл становится:

∬_D f(x, y) dA = ∫_c^d ∫_a^b f(x, y) dx dy

Повторное интегрирование

Интегралы, вычисленные с помощью двойных интегралов, могут быть оценены с помощью их преобразования в повторные интегралы, что означает, что интеграл вычисляется в два последовательных этапа. Этот процесс включает выбор внутреннего и внешнего интеграла.

Итерационный процесс выглядит следующим образом:

1. Интегрируем f(x, y) по x (удерживая y постоянным), получая внутренний интеграл.
2. Интегрируем результат по y, получая внешний интеграл.

Процесс может быть обращен — сначала интегрируем по y, затем по x — в зависимости от деталей области D

Пример:

Вычислить двойной интеграл:

∬_D (x + y) dA

где D определяется пределами 0 ≤ x ≤ 1 и 0 ≤ y ≤ 1.

Решение:

∬_D (x + y) dA = ∫_0^1 ∫_0^1 (x + y) dx dy

1. Интегрируем внутренний интеграл:

   ∫_0^1 (x + y) dx = [0.5x^2 + xy]_0^1 = 0.5 + y

2. Теперь интегрируем результат по y:

   ∫_0^1 (0.5 + y) dy = [0.5y + 0.5y^2]_0^1 = 0.5 + 0.5 = 1

Таким образом, двойной интеграл равен 1.

Тройные интегралы

Тройные интегралы расширяют эту идею на функции трех переменных и часто используются для вычисления объема или других свойств трехмерных областей.

Концепция тройного интеграла

Рассмотрим непрерывную функцию f(x, y, z) в области E в трехмерном пространстве. Тройной интеграл f по E представляется как:

∭_E f(x, y, z) dV

Здесь dV обозначает маленький элемент объема внутри E. Процесс вычисления тройного интеграла следует той же схеме деления и суммирования, что и для двойного интеграла.

Вычисление тройного интеграла

Для упрощения вычислений тройной интеграл часто преобразуют в повторный интеграл, чтобы его можно было оценить как три последовательных одинарных интеграла.

Например, если E определяется пределами a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d и p ≤ z ≤ q, то тройной интеграл становится:

∭_E f(x, y, z) dV = ∫_p^q ∫_c^d ∫_a^b f(x, y, z) dx dy dz

Пример:

Вычислить тройной интеграл:

∭_E (xyz) dV

где E определяется пределами 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 и 0 ≤ z ≤ 1.

Решение:

∭_E (xyz) dV = ∫_0^1 ∫_0^1 ∫_0^1 (xyz) dx dy dz

1. Интегрируем внутренний интеграл по x:

   ∫_0^1 (xyz) dx = [0.5x^2yz]_0^1 = 0.5yz

2. Интегрируем по y:

   ∫_0^1 (0.5yz) dy = [0.25y^2z]_0^1 = 0.25z

3. Наконец, интегрируем по z:

   ∫_0^1 (0.25z) dz = [0.125z^2]_0^1 = 0.125

Таким образом, значение тройного интеграла равно 0.125.

Изменение порядка интегрирования

Двойные и тройные интегралы часто могут быть оценены легче, изменяя порядок интегрирования в зависимости от границ вовлеченных областей. Изменение порядка интегрирования может быть полезным, когда один порядок проще выразить или рассчитать.

Пример:

Рассмотрим функцию f(x, y) и треугольную область D, ограниченную y = 0, y = x и x = 1. Интеграл для f(x, y) можно задать как:

∫_0^1 ∫_0^x f(x, y) dy dx

Чтобы изменить порядок интегрирования, чтобы выполнить вычисление сначала по x:

∫_0^1 ∫_y^1 f(x, y) dx dy

Это изменение режима использует территориальные границы для эффективного установления новых границ.

Применение

Множественные интегралы имеют практические приложения для вычисления физических свойств, таких как масса, центр масс и момент инерции различных объектов. Они также полезны для вычисления вероятностей по многомерным распределениям, в гидродинамике и в электростатике.

Центр масс

Чтобы найти центр масс твердика постоянной плотности в области E в трехмерном пространстве, используется следующее:

x̄ = (1/V) ∭_E x dV ȳ = (1/V) ∭_E y dV z̄ = (1/V) ∭_E z dV

где V — это объем сферы.

Заключение

Освоение множества интегралов позволяет решать сложные задачи анализа, связанные с площадью, объемом и другими измерениями в двух, трех и более измерениях. Эти интегралы повышают способность анализировать и понимать многомерные явления, наблюдаемые в математике, физике и инженерных контекстах.

комментарии