多重積分の導入

多変数微積分では、単変数微積分と同様に、「部分」から「全体」を求めたい場合がよくあります。複数の変数を持つ関数を扱う場合、この概念は多重積分に拡張されます。一重の積分、一次元の積分は、曲線の下の面積を計算することができ、同様に、多重積分を用いることで、高次元のアナログの面積、体積、または量を計算することが可能です。

多重積分は、2つ以上の変数の関数に積分の概念を拡張します。これは物理学、工学、確率などのさまざまな分野で重要です。

重積分

重積分は、多重積分の中でも最も広く使用されるものの一つです。主に表面の下の体積を見つけるため、または平面領域の面積を計算するために、2つの変数を持つ関数に適用されます。

重積分の概念

連続関数f(x, y)をxy平面の領域D上で考えます。fのD上の重積分は次のように表されます：

∬_D f(x, y) dA

ここで、dAは領域D内の小さな面積要素を表します。重積分を求めるプロセスは、領域全体にわたって関数f(x, y)の微小な寄与を合計することです。

重積分の計算

重積分を計算するには、まず領域Dを小さな領域の部分に分割し、これらの部分での関数の値を見つけ、それを合計します。部分のサイズがゼロに近づくとき、それらの和の極限として積分が得られます。

視覚的な例：重積分

上のグラフは、重積分を計算したい領域Dを示しています。この領域にわたってf(x, y)の寄与を加えることが課題です。

もしDがa ≤ x ≤ bおよびc ≤ y ≤ dとして記述できる場合、重積分は次のようになります：

∬_D f(x, y) dA = ∫_c^d ∫_a^bf(x, y) dx dy

反復積分

重積分を用いて計算した整数は、反復積分に変換することで評価することができます。これは、積分が2つの連続したステップで計算されることを意味します。このプロセスは、内側と外側の積分を選択することを伴います。

反復プロセスは次のとおりです：

1. yを固定してxに関してf(x, y)を積分し、内側の積分を得る。
2. その結果をyに関して積分し、外側の積分を得る。

プロセスは逆にすることができ – 最初にyに関して積分し、次にxに関して積分 – 領域Dの詳細に応じて。

例：

次の重積分を評価します：

∬_D (x + y) dA

ここで、Dは0 ≤ x ≤ 1および0 ≤ y ≤ 1で定義されます。

解答：

∬_D (x + y) dA = ∫_0^1 ∫_0^1 (x + y) dx dy

1. 内側の積分を計算します：

   ∫_0^1 (x + y) dx = [0.5x^2 + xy]_0^1 = 0.5 + y

2. 次に結果をyに関して積分します：

   ∫_0^1 (0.5 + y) dy = [0.5y + 0.5y^2]_0^1 = 0.5 + 0.5 = 1

したがって、重積分は1になります。

三重積分

三重積分は、このアイデアを3つの変数の関数に拡張し、三次元領域の体積や他の特性を計算するためによく使用されます。

三重積分の概念

三次元空間の領域Eにわたる連続関数f(x, y, z)を考えます。E上のfの三重積分は次のように表されます：

∭_E f(x, y, z) dV

ここで、dVはE内の小さな体積要素を示します。三重積分を求めるプロセスは、重積分と同じく分割して和をとるアプローチをたどります。

三重積分の計算

より単純な計算のために、三重積分はしばしば反復積分に変換され、3つの連続した一重積分として評価できます。

たとえば、Eがa ≤ x ≤ b、c ≤ y ≤ d、およびp ≤ z ≤ qで定義される場合、三重積分は次のようになります：

∭_E f(x, y, z) dV = ∫_p^q ∫_c^d ∫_a^bf(x, y, z) dx dy dz

例：

次の三重積分を評価します：

∭_E (xyz) dV

ここで、Eは0 ≤ x ≤ 1、0 ≤ y ≤ 1、0 ≤ z ≤ 1で定義されます。

解答：

∭_E (xyz) dV = ∫_0^1 ∫_0^1 ∫_0^1 (xyz) dx dy dz

1. 最内の積分をxに関して行います：

   ∫_0^1 (xyz) dx = [0.5x^2yz]_0^1 = 0.5yz

2. yに関して積分します：

   ∫_0^1 (0.5yz) dy = [0.25y^2z]_0^1 = 0.25z

3. 最後にzに関して積分します：

   ∫_0^1 (0.25z) dz = [0.125z^2]_0^1 = 0.125

したがって、三重積分の値は0.125です。

積分の順序の変更

領域の境界に応じて、積分の順序を変更することで、重積分および三重積分をより簡単に評価できることがよくあります。積分の順序を変更することで、一方の順序がより簡単に表現または計算できる場合に役立ちます。

例：

関数f(x, y)およびy = 0、y = x、x = 1で囲まれた三角形の領域Dを考えます。f(x, y)の積分を次のように設定できます：

∫_0^1 ∫_0^xf(x, y) dy dx

積分の順序を変更して、まずxに関して計算するには：

∫_0^1 ∫_y^1 f(x, y) dx dy

この順序の変更は、新しい境界を効果的に確立するために領域の境界を使用します。

応用

多重積分は、さまざまな物体の質量、重心、慣性モーメントなどの物理的特性を計算する実際の応用があります。また、多変量分布、流体力学、静電気学の確率の計算にも役立ちます。

重心

三次元空間の領域E内の一定密度の固体の重心を求めるには、次のものを使用します：

x̄ = (1/V) ∭_E x dV ȳ = (1/V) ∭_E y dV z̄ = (1/V) ∭_E z dV

ここで、Vは球の体積です。

結論

多重積分を習得することで、2次元、3次元、またはそれ以上の次元で面積、体積、その他の測定を行う複雑な微積分の問題を解くことが可能になります。これらの積分は、数学、物理学、および工学の文脈で観察される多次元現象を分析し、理解する能力を向上させます。

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