मल्टीपल इंटीग्रेशन का परिचय

बहु-चर कलन में, जैसे कि एकल-चर कलन में, हम अक्सर किसी वस्तु के "भागों" से "पूरे" को खोजने में रुचि रखते हैं। जब एक से अधिक चर वाले कार्यों का सामना करते हैं, तो यह अवधारणा बहु-इंटीग्रल तक विस्तारित होती है। एकल इंटीग्रल, या एक-आयामी इंटीग्रल, हमें वक्रों के नीचे के क्षेत्रफल की गणना करने की अनुमति देता है। इसी तरह, बहु-इंटीग्रल हमें उच्च-आयामी एनालॉग्स पर क्षेत्रफल, आयतन या यहां तक कि मात्राएं भी गणना करने की अनुमति देते हैं।

बहु-इंटीग्रल इंटीग्रेशन की अवधारणा को दो, तीन या अधिक चर वाले कार्यों तक विस्तारित करते हैं। वे भौतिकी, इंजीनियरिंग और संभावना जैसे विभिन्न क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हैं।

डबल इंटीग्रल

डबल इंटीग्रल बहु-इंटीग्रल के सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले प्रकारों में से एक हैं। उन्हें दो चरों वाले कार्यों पर लागू किया जाता है, मुख्य रूप से सतहों के नीचे के आयतन को खोजने या समतल में क्षेत्रों के ऊपर क्षेत्रफल की गणना के लिए।

डबल इंटीग्रल की अवधारणा

समतल xy में एक क्षेत्र D पर एक निरंतर कार्य f(x, y) पर विचार करें। f का D पर डबल इंटीग्रल निम्नलिखित रूप में दर्शाया गया है:

∬_D f(x, y) dA

जहां dA क्षेत्र D में एक छोटा क्षेत्र तत्व दर्शाता है। डबल इंटीग्रल खोजने की प्रक्रिया में पूरे क्षेत्र में f(x, y) के अतिसूक्ष्म योगदानों को जोड़ना शामिल है।

डबल इंटीग्रल की गणना करना

डबल इंटीग्रल की गणना करने के लिए, हम पहले क्षेत्र D को छोटे क्षेत्रों की उपक्षेत्रों में विभाजित करते हैं, इन उपक्षेत्रों में कार्य का मान खोजते हैं, और फिर उन्हें जोड़ते हैं। जब उपक्षेत्रों का आकार शून्य की ओर बढ़ता है, तो इंटीग्रल इन योगों की सीमा बन जाता है।

दृश्य उदाहरण: डबल इंटीग्रल

उपरोक्त ग्राफ एक क्षेत्र D को दर्शाता है जिसके ऊपर हम एक डबल इंटीग्रल की गणना करना चाहते हैं। कार्य है f(x, y) के योगदानों को इस क्षेत्र पर जोड़ना।

यदि D को a ≤ x ≤ b और c ≤ y ≤ d के रूप में वर्णित किया जा सकता है, तो बाइनरी इंटीग्रल बन जाता है:

∬_D f(x, y) dA = ∫_c^d ∫_a^bf(x, y) dx dy

परिकलितीकरण इंटीग्रेशन

डबल इंटीग्रल का उपयोग करके गणना किए गए पूर्णांक को परिकलित इंटीग्रल में परिवर्तित करके मूल्यांकित किया जा सकता है, जिसका अर्थ यह होता है कि इंटीग्रल दो क्रमिक चरणों में गणना किया जाता है। इस प्रक्रिया में एक आंतरिक और एक बाहरी इंटीग्रल का चयन शामिल होता है।

परिकलित प्रक्रिया निम्नलिखित है:

1. y को स्थिर रखते हुए x के सापेक्ष f(x, y) का इंटीग्रेशन करें, जिससे आंतरिक इंटीग्रल प्राप्त होता है।
2. परिणाम का y के सापेक्ष इंटीग्रेशन करें, जिससे बाहरी इंटीग्रल प्राप्त होता है।

यह प्रक्रिया उलटी भी की जा सकती है – पहले y के सापेक्ष इंटीग्रेशन करें, फिर x के सापेक्ष – क्षेत्र D का विवरण निर्भर करता है।

उदाहरण:

निम्नलिखित डबल इंटीग्रल का मूल्यांकन करें:

∬_D (x + y) dA

जहां D उपरोक्त सीमा-परिभाषित 0 ≤ x ≤ 1 और 0 ≤ y ≤ 1 है।

समाधान:

∬_D (x + y) dA = ∫_0^1 ∫_0^1 (x + y) dx dy

1. आंतरिक इंटीग्रल का इंटीग्रेशन करें:

   ∫_0^1 (x + y) dx = [0.5x^2 + xy]_0^1 = 0.5 + y

2. अब परिणाम का y के सापेक्ष इंटीग्रेशन करें:

   ∫_0^1 (0.5 + y) dy = [0.5y + 0.5y^2]_0^1 = 0.5 + 0.5 = 1

इस प्रकार, डबल इंटीग्रल का मान 1 के बराबर है।

त्रिक इंटीग्रल

त्रिक इंटीग्रल तीन चरों के कार्यों की गणना के इस विचार का विस्तार करते हैं और अक्सर तीन-आयामी क्षेत्रों के आयतन या अन्य गुणों की गणना के लिए उपयोग किए जाते हैं।

त्रिक इंटीग्रल की अवधारणा

तीन-आयामी अंतरिक्ष में एक क्षेत्र E के ऊपर एक निरंतर कार्य f(x, y, z) पर विचार करें। f का E पर त्रिक इंटीग्रल निम्नलिखित रूप में दर्शाया गया है:

∭_E f(x, y, z) dV

यहां, dV E के अंदर एक छोटा आयतन तत्व दर्शाता है। त्रिक इंटीग्रल को कंप्यूट करने की प्रक्रिया डबल इंटीग्रल की तरह विभाजन और योग दृष्टिकोण का पालन करती है।

त्रिक इंटीग्रल की गणना करना

सरल गणनाओं के लिए, त्रिक इंटीग्रल को अक्सर एक समूहित इंटीग्रल में परिवर्तित कर दिया जाता है, ताकि इसे तीन क्रमिक एकल इंटीग्रलों के रूप में मूल्यांकित किया जा सके।

उदाहरण के लिए, अगर E a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, और p ≤ z ≤ q की सीमाओं से परिभाषित है, तो त्रिक इंटीग्रल बन जाता है:

∭_E f(x, y, z) dV = ∫_p^q ∫_c^d ∫_a^bf(x, y, z) dx dy dz

उदाहरण:

निम्नलिखित त्रिक इंटीग्रल का मूल्यांकन करें:

∭_E (xyz) dV

जहां E की सीमाएं 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, और 0 ≤ z ≤ 1 हैं।

समाधान:

∭_E (xyz) dV = ∫_0^1 ∫_0^1 ∫_0^1 (xyz) dx dy dz

1. x के सापेक्ष सबसे आंतरिक इंटीग्रल का इंटीग्रेशन करें:

   ∫_0^1 (xyz) dx = [0.5x^2yz]_0^1 = 0.5yz

2. y के सापेक्ष इंटीग्रेशन करें:

   ∫_0^1 (0.5yz) dy = [0.25y^2z]_0^1 = 0.25z

3. अंत में, z के सापेक्ष इंटीग्रेशन करें:

   ∫_0^1 (0.25z) dz = [0.125z^2]_0^1 = 0.125

इस प्रकार, त्रिक इंटीग्रल का मान 0.125 है।

इंटीग्रेशन का क्रम बदलना

डबल और त्रिक इंटीग्रल अक्सर क्षेत्र की सीमाओं पर निर्भर करते हुए इंटीग्रेशन के क्रम को बदलकर अधिक आसानी से मूल्यांकित किए जा सकते हैं। इंटीग्रेशन के क्रम को बदलना फायदेमंद हो सकता है जब एक क्रम सरल से व्यक्त या गणना करना अधिक सरल होता है।

उदाहरण:

एक कार्य f(x, y) और एक त्रिभुजाकार क्षेत्र D पर विचार करें जो y = 0, y = x, और x = 1 द्वारा सीमित होता है। f(x, y) का इंटीग्रल निम्नलिखित रूप में सेट किया जा सकता है:

∫_0^1 ∫_0^xf(x, y) dy dx

इंटीग्रेशन का क्रम बदलने के लिए, पहले x के सापेक्ष गणना करें:

∫_0^1 ∫_y^1 f(x, y) dx dy

इस क्षेत्र सीमा परिवर्तन का उपयोग नई सीमाओं को स्थापित करने के लिए लाभकारी रूप से किया जाता है।

अनुप्रयोग

बहु-इंटीग्रल विभिन्न वस्तुओं के भौतिक गुणों जैसे कि द्रव्यमान, द्रव्यमान का केंद्र, और जड़ता का क्षण की गणना में व्यावहारिक अनुप्रयोग होते हैं। वे बहु-चर वितरकों पर संभावनाओं, तरल गतिकी और इलेक्ट्रोस्टैटिक्स की गणना में भी सहायक होते हैं।

द्रव्यमान का केंद्र

तीन-आयामी क्षेत्र E में एक ठोस के द्रव्यमान के केंद्र का खोजने के लिए निम्नलिखित का उपयोग किया जाता है:

x̄ = (1/V) ∭_E x dV ȳ = (1/V) ∭_E y dV z̄ = (1/V) ∭_E z dV

जहां V क्षेत्र का आयतन है।

निष्कर्ष

बहु-इंटीग्रल में महारत हासिल करना किसी को क्षेत्र, आयतन, और दो, तीन, और उच्चतर आयामों में अन्य मापों वाले जटिल कलन समस्याओं को हल करने में सक्षम बनाता है। ये इंटीग्रल गणना, भौतिकी, और इंजीनियरिंग संदर्भों में अवलोकित बहु-आयामी घटनाओं का विश्लेषण और समझ बढ़ाते हैं।

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