Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Introducción a la integración múltiple


En cálculo multivariable, al igual que en cálculo de una sola variable, a menudo estamos interesados en encontrar el “todo” de algo a partir de sus “partes”. Al tratar con funciones con más de una variable, este concepto se extiende a integrales múltiples. Una integral simple, o una integral unidimensional, nos permite calcular áreas bajo curvas. De manera similar, las integrales múltiples nos permiten calcular áreas, volúmenes o incluso cantidades en análogos de dimensiones superiores.

Las integrales múltiples extienden el concepto de integración a funciones de dos, tres o más variables. Son importantes en una variedad de campos como la física, la ingeniería y la probabilidad.

Integrales dobles

Las integrales dobles son uno de los tipos más ampliamente utilizados de integrales múltiples. Se aplican a funciones con dos variables, principalmente para encontrar volúmenes bajo superficies o para calcular áreas sobre regiones en el plano.

El concepto de integral doble

Considere una función continua f(x, y) sobre una región D en el plano xy. La integral doble de f sobre D se representa como:

∬_D f(x, y) dA

donde dA representa un pequeño elemento de área en la región D. El proceso de encontrar la integral doble implica sumar las contribuciones infinitesimales de la función f(x, y) sobre toda la región.

Calcular integrales dobles

Para calcular la integral doble, primero dividimos la región D en subregiones de regiones más pequeñas, encontramos el valor de la función en estas subregiones y luego las sumamos. Cuando el tamaño de las subregiones se acerca a cero, la integral se convierte en el límite de estas sumas.

Ejemplo visual: integral doble

X Y Área D A B C D

El gráfico anterior muestra una región D sobre la cual queremos calcular una integral doble. La tarea es sumar las contribuciones de f(x, y) sobre esta región.

Si D se puede describir como a ≤ x ≤ b y c ≤ y ≤ d, entonces la integral binaria se convierte en:

∬_D f(x, y) dA = ∫_c^d ∫_a^bf(x, y) dx dy

Integración iterada

Las enteras calculadas usando integrales dobles se pueden evaluar convirtiéndolas en integrales iteradas, lo que significa que la integral se calcula en dos pasos sucesivos. Este proceso involucra seleccionar una integral más interna y una externa.

El proceso iterativo es el siguiente:

  1. Integrar f(x, y) con respecto a x (manteniendo fijo y), obteniendo la integral interna.
  2. Integrar el resultado con respecto a y, resultando en la integral externa.

El proceso se puede revertir: primero integrar con respecto a y, luego con respecto a x, dependiendo de los detalles de la región D.

Ejemplo:

Evaluar la integral doble:

∬_D (x + y) dA

donde D está definida por los límites 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1.

Solución:

∬_D (x + y) dA = ∫_0^1 ∫_0^1 (x + y) dx dy
  1. Integrar la integral interna: 
    ∫_0^1 (x + y) dx = [0.5x^2 + xy]_0^1 = 0.5 + y
  2. Ahora integrar el resultado con respecto a y: 
    ∫_0^1 (0.5 + y) dy = [0.5y + 0.5y^2]_0^1 = 0.5 + 0.5 = 1

Por lo tanto, la integral doble es igual a 1.

Integrales triples

Las integrales triples extienden esta idea a funciones de tres variables y se utilizan a menudo para calcular volumen u otras propiedades de regiones tridimensionales.

El concepto de integral triple

Considere una función continua f(x, y, z) sobre una región E en el espacio tridimensional. La integral triple de f sobre E se representa como:

∭_E f(x, y, z) dV

Aquí, dV denota un pequeño elemento de volumen dentro de E. El proceso de calcular la integral triple sigue el mismo enfoque de dividir y sumar que la integral doble.

Calcular la integral triple

Para facilitar los cálculos, la integral triple se convierte a menudo en una integral iterada, por lo que se puede evaluar como tres integrales simples sucesivas.

Por ejemplo, si E está definida por los límites a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, y p ≤ z ≤ q, entonces la integral triple se convierte en:

∭_E f(x, y, z) dV = ∫_p^q ∫_c^d ∫_a^bf(x, y, z) dx dy dz

Ejemplo:

Evaluar la integral triple:

∭_E (xyz) dV

donde E está definida por los límites 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, y 0 ≤ z ≤ 1.

Solución:

∭_E (xyz) dV = ∫_0^1 ∫_0^1 ∫_0^1 (xyz) dx dy dz
  1. Integrar la integral más interna con respecto a x: 
    ∫_0^1 (xyz) dx = [0.5x^2yz]_0^1 = 0.5yz
  2. Integrar con respecto a y: 
    ∫_0^1 (0.5yz) dy = [0.25y^2z]_0^1 = 0.25z
  3. Finalmente, integrar con respecto a z: 
    ∫_0^1 (0.25z) dz = [0.125z^2]_0^1 = 0.125

Por lo tanto, el valor de la integral triple es 0.125.

Cambio en el orden de integración

Las integrales dobles y triples a menudo se pueden evaluar más fácilmente cambiando el orden de integración dependiendo de los límites de las regiones involucradas. Cambiar el orden de integración puede ser beneficioso cuando un orden es más simple de expresar o calcular.

Ejemplo:

Considere una función f(x, y) y una región triangular D delimitada por y = 0, y = x, y x = 1. La integral para f(x, y) se puede configurar como:

∫_0^1 ∫_0^xf(x, y) dy dx

Para cambiar el orden de integración realizando el cálculo con respecto a x primero:

∫_0^1 ∫_y^1 f(x, y) dx dy

Este cambio en el régimen utiliza barreras territoriales para establecer efectivamente nuevos límites.

Aplicación

Las integrales múltiples tienen aplicaciones prácticas en el cálculo de propiedades físicas como la masa, el centro de masa y el momento de inercia de varios objetos. También son útiles para calcular probabilidades en distribuciones multivariadas, dinámica de fluidos y electrostática.

Centro de masa

Para encontrar el centro de masa de un sólido de densidad constante en una región E en el espacio tridimensional, se utiliza lo siguiente:

x̄ = (1/V) ∭_E x dV ȳ = (1/V) ∭_E y dV z̄ = (1/V) ∭_E z dV

donde V es el volumen de la esfera.

Conclusión

Dominar las integrales múltiples permite resolver problemas complejos de cálculo que involucran área, volumen y otras medidas en dos, tres y más dimensiones. Estas integrales mejoran la capacidad de analizar y comprender fenómenos multidimensionales observados en contextos matemáticos, físicos y de ingeniería.


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