Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

Universitario → Cálculos → Cálculo multivariable ↓


Divergencia y rotacional


Introducción

En cálculo multivariable, a menudo tratamos con campos vectoriales, que son funciones que asignan un vector a cada punto en el espacio. Dos operaciones importantes que nos ayudan a entender los campos vectoriales son la divergencia y el rotacional. Estas operaciones ayudan a investigar varias propiedades de los campos, tales como la tasa de cambio, dirección, rotación, y más. Se requiere un conocimiento extenso sobre la divergencia y el rotacional en campos como la física, la ingeniería y los gráficos por computadora.

¿Qué es la divergencia?

La divergencia mide cuánto se expande o se contrae un campo vectorial en un punto. Si puedes imaginar un fluido fluyendo a través del campo, la divergencia en un punto representa el flujo neto de fluido hacia afuera desde el punto.

Matemáticamente, para un campo vectorial F = (F1, F2, F3) en tres dimensiones, la divergencia es un escalar dado por:

div F = ∇ • F = ∂F1/∂x + ∂F2/∂y + ∂F3/∂z

En esta ecuación, ∇ (nabla) denota el operador diferencial vectorial. Aquí, ∂ denota una derivada parcial, que mide la tasa en la que una función cambia cuando una de sus variables cambia, mientras que las otras permanecen constantes.

Ejemplo visual: Divergencia en dos dimensiones

Consideremos un simple ejemplo visual de un campo vectorial en dos dimensiones, donde los vectores están irradiando hacia afuera desde el origen:

En este ejemplo, la divergencia es positiva, porque el campo vectorial se expande a medida que te alejas del origen.

Ejemplos textuales de divergencia

Ejemplo 1

Considera el campo vectorial F = (x, y, z).

div F = ∂/∂x (x) + ∂/∂y (y) + ∂/∂z (z) = 1 + 1 + 1 = 3

Aquí la divergencia es constante y positiva, es decir, el campo sigue expandiéndose.

Ejemplo 2

Toma el campo vectorial G = (x, -y, z).

div G = ∂/∂x (x) + ∂/∂y (-y) + ∂/∂z (z) = 1 – 1 + 1 = 1

La divergencia en esta área es menor que en el ejemplo anterior, lo que indica menos dispersión.

Interpretación física de la divergencia

La divergencia tiene importantes implicaciones en el mundo real, especialmente en la dinámica de fluidos y el electromagnetismo:

  • En la dinámica de fluidos, la divergencia mide la tasa a la que la densidad volumétrica de un fluido se expande o se comprime en un punto. La divergencia positiva indica una fuente de flujo o expansión, mientras que los valores negativos sugieren sumidero o compresión.
  • En el electromagnetismo, la ley de Gauss, una de las ecuaciones de Maxwell, utiliza la divergencia para relacionar la distribución de carga eléctrica con el campo eléctrico resultante.

¿Qué es el rotacional?

El rotacional, por otro lado, mide la tendencia de un campo vectorial a rotar alrededor de un punto. Si piensas en un campo vectorial como representativo del flujo del viento o del agua, el rotacional representa la cantidad de rotación o giro alrededor de un punto dado.

Para un campo vectorial tridimensional F = (F1, F2, F3), el rotacional es un vector dado por:

curl F = ∇ × F = (∂F3/∂y - ∂F2/∂z, ∂F1/∂z - ∂F3/∂x, ∂F2/∂x - ∂F1/∂y)

El rotacional es un vector cuyos componentes están determinados por los cambios en los componentes de F. En esencia, proporciona una medida de la rotación del campo para cada punto.

Ejemplo visual: Rotacional en dos dimensiones (conceptual)

Imagina un campo vectorial que forma un círculo, donde los vectores apuntan en un camino circular alrededor del origen:

Aquí, el rotacional no es cero porque los vectores están formando un patrón circular, lo que indica un campo rotacional o curvado.

Ejemplos textuales de rotacional

Ejemplo 1

Considera el campo vectorial H = (-y, x, 0).

curl H = ∇ × H = (0, 0, (∂/∂x (x) - ∂/∂y (-y))) = (0, 0, 2)

Dado que la porción no cero del vector de rotacional está en la dirección z, esto sugiere que el campo rota principalmente alrededor del eje z.

Ejemplo 2

Toma el campo vectorial K = (yz, zx, xy).

curl K = ( ∂/∂y(xy) - ∂/∂z(zx), ∂/∂z(yz) - ∂/∂x(xy), ∂/∂x(zx) - ∂/∂y(yz) )
       = (0, z – x, z – y)

Este ejemplo demuestra la presencia de rotación en el campo vectorial sobre diferentes ejes.

Interpretación física del rotacional

Los rotacionales pueden observarse en una variedad de escenarios físicos:

  • En la dinámica de fluidos, el rotacional indica la parte rotacional del campo de velocidad de un fluido. Si piensas en el agua fluyendo por un desagüe, el rotacional representaría el movimiento de rotación.
  • En el electromagnetismo, el rotacional se utiliza en la ley de Faraday de inducción para describir cómo un campo magnético cambiante induce un campo eléctrico.

Reflexiones finales

La divergencia y el rotacional son conceptos fundamentales utilizados en el análisis de campos vectoriales en cálculo. Proporcionan un marco matemático preciso para estudiar muchos fenómenos físicos, desde el flujo de fluidos hasta los campos electromagnéticos. Entender estos conceptos ayuda no solo en matemáticas teóricas, sino también en aplicaciones prácticas en varios dominios científicos y de ingeniería.

Entender estos conceptos abstractos puede ser un desafío al principio. Sin embargo, usando ejemplos visuales y desglosando cada componente, puedes obtener una mejor comprensión intuitiva de lo que representan la divergencia y el rotacional. A medida que avances hacia aplicaciones más avanzadas, estos bloques básicos te servirán bien para comprender y usar efectivamente el cálculo multivariable.


Universitario → 2.3.3


U
username
0%
completado en Universitario

← Anterior (2.3.2)
Gradiente en cálculo multivariable
Siguiente (2.3.4) →
Introducción a la integración múltiple

Comentarios 



Divergencia y rotacional

https://www.buddymath.com/ug/2.3.3?bmal=es