Бакалавриат
  1. Алгебра  1.1. Линейная алгебра  1.1.1. Матрицы  1.1.2. Определители  1.1.3. Системы линейных уравнений  1.1.4. Понимание векторных пространств в линейной алгебре  1.1.5. Линейные преобразования  1.1.6. Собственные значения и собственные векторы  1.1.7. Диагонализация  1.1.8. Внутреннее пространственное произведение  1.1.9. Ортогональность и ортонормированный базис  1.1.10. Сингулярное разложение  1.2. Абстрактная алгебра  1.2.1. Группа  1.2.2. Подгруппы  1.2.3. Циклические группы  1.2.4. Группа перестановок  1.2.5. Гомеоморфизм  1.2.6. Нормальные подгруппы  1.2.7. Введение в кольца в абстрактной алгебре  1.2.8. Поле  1.2.9. Идеалы и фактор-кольца  1.2.10. Кольца многочленов  1.2.11. Векторное пространство над полем  1.2.12. Модуль  1.2.13. Введение в теорию Галуа
  2. Расчеты  2.1. Дифференциальное исчисление  2.1.1. Понимание пределов в дифференциальном исчислении  2.1.2. Понимание континуума в дифференциальном исчислении  2.1.3. Производные  2.1.4. Понимание правила цепочки в дифференциальном исчислении  2.1.5. Неявное дифференцирование  2.1.6. Приложения производных  2.1.7. Задачи оптимизации  2.1.8. Понимание теоремы о среднем значении  2.2. Интегральное исчисление  2.2.1. Определенный интеграл  2.2.2. Неопределенный интеграл  2.2.3. Методы интеграции  2.2.4. Неправильные интегралы  2.2.5. Применение интеграла  2.2.6. Длина дуги и площадь поверхности  2.3. Многомерное исчисление  2.3.1. Частная производная  2.3.2. Градиент в многомерном исчислении  2.3.3. Дивергенция и ротор  2.3.4. Введение в множественное интегрирование  2.3.5. Понимание линейных интегралов  2.3.6. Поверхностные интегралы  2.3.7. Объяснение теоремы Грина  2.3.8. Теорема Стокса  2.3.9. Теорема о дивергенции  2.3.10. Якобиан
  3. Дифференциальные уравнения  3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  3.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  3.1.2. Дифференциальные уравнения высшего порядка  3.1.3. Системы дифференциальных уравнений  3.1.4. Решение в виде ряда  3.1.5. Численные методы для ОДУ  3.2. Уравнения в частных производных  3.2.1. Понимание уравнения теплопроводности  3.2.2. Уравнение волны  3.2.3. Уравнение Лапласа  3.2.4. Разделение переменных  3.2.5. Методы преобразования Фурье в уравнениях с частными производными
  4. Реальный анализ  4.1. Последовательности и ряды  4.1.1. Сходимость последовательностей  4.1.2. Тестирование рядов  4.1.3. Степенной ряд  4.1.4. Равномерная сходимость  4.2. Функции действительных переменных  4.2.1. Пределы и непрерывность  4.2.2. Понимание равномерной непрерывности  4.2.3. Дифференцирование функций действительных переменных  4.2.4. Интегрирование по Риману  4.2.5. Интеграл Лебега
  5. Введение в комплексный анализ  5.1. Комплексные числа  5.1.1. Полярная форма  5.1.2. Экспоненциальная форма в комплексных числах  5.2. Функции комплексной переменной  5.2.1. Аналитические функции  5.2.2. Уравнения Коши–Римана  5.2.3. Контурные интегралы  5.2.4. Теорема Коши о интеграции  5.2.5. Теорема о вычетах в комплексном анализе  5.2.6. Конформное отображение
  6. Вероятность и статистика  6.1. Теория вероятностей  6.1.1. Основные концепции вероятности  6.1.2. Случайные величины  6.1.3. Понимание вероятностных распределений  6.1.4. Ожидание и вариация  6.1.5. Условная вероятность и теорема Байеса  6.2. Фигуры  6.2.1. Описательная статистика  6.2.2. Инференциальная статистика  6.2.3. Проверка гипотез  6.2.4. Регрессионный анализ  6.2.5. Понимание ANOVA: анализ дисперсии
  7. Численные методы  7.1. Алгоритм нахождения корней  7.2. Численное интегрирование  7.3. Численное дифференцирование  7.4. Численные решения дифференциальных уравнений  7.5. Вычисления с матрицами  7.6. Интерполяция и экстраполяция
  8. Введение в дискретную математику  8.1. Аргументы и доказательства  8.2. Компаньонство  8.3. Теория графов  8.4. Алгебра логики  8.5. Рекуррентное соотношение
  9. Линейное программирование и оптимизация  9.1. Понимание метода симплекс в линейном программировании и оптимизации  9.2. Двойственность в линейном программировании и оптимизации  9.3. Целочисленное программирование  9.4. Нелинейная оптимизация
  10. Понимание топологии: путешествие по формам и пространствам  10.1. Метрик пространство  10.2. Топологические пространства  10.3. Непрерывность и гомеоморфизмы  10.4. Плотность  10.5. Ассоциативность в топологии
  11. Введение в геометрию  11.1. Евклидова геометрия  11.2. Дифференциальная геометрия  11.3. Неевклидова геометрия  11.4. Проективная геометрия
  12. Математическая физика  12.1. Ряд Фурье  12.2. Преобразование Лапласа  12.3. Применение дифференциальных уравнений  12.4. Специальные функции
  13. Теория множеств и логика  13.1. Множества и подмножества  13.2. Отношения и функции  13.3. Понимание мощности в теории множеств и логике  13.4. Понимание формальной логики в теории множеств и логике  13.5. Теория множества Цермело-Френкеля
  14. Введение в функциональный анализ  14.1. Стандартная локация  14.2. Банаховы пространства  14.3. Понимание пространства Гильберта в функциональном анализе  14.4. Линейные операторы

Бакалавриат → Расчеты → Многомерное исчисление ↓


Частная производная


Понимание частных производных

Частная производная — это фундаментальная концепция в многомерном анализе, который изучает функции, включающие несколько переменных. В то время как обычный анализ имеет дело с функциями одной переменной, многомерный анализ расширяет эти идеи на функции более чем одной переменной. Это расширение позволяет открыть целый новый мир математического понимания, который применим в различных научных областях, таких как физика, инженерия, экономика и другие.

Рассмотрим функцию f(x, y), где выход зависит от двух входных переменных, x и y. Для функции двух переменных частные производные отражают, как функция изменяется по отношению к каждой отдельной переменной, удерживая другую постоянной.

Что такое частная производная?

Частная производная функции по одной из ее переменных измеряет, как функция изменяется, когда эта конкретная переменная меняется, удерживая все другие переменные постоянными. Другими словами, когда вы вычисляете частную производную по x, вы рассматриваете y как постоянную и дифференцируете по x, так же как и в одно переменном анализе.

Математическое обозначение

Существует несколько обозначений для частных производных. Если f(x, y) — это функция, тогда:

  • Частная производная f по x обозначается как ∂f/∂x или fx.
  • Частная производная по y обозначается как ∂f/∂y или fy.

Пример вычисления

Рассмотрим функцию f(x, y) = 3x2y + 2y3 - 5x.

Чтобы найти частную производную f по x, обозначаемую как ∂f/∂x, продифференцируем ее по x:

∂f/∂x = ∂/∂x (3x2y + 2y3 - 5x) = 6xy - 5.

Здесь y считается постоянной.

Для частной производной по y ∂f/∂y представлено как:

∂f/∂y = ∂/∂y (3x2y + 2y3 - 5x) = 3x2 + 6y2.

В этот раз x считается постоянной.

Визуализация частных производных

Визуализация работы частных производных может еще глубже углубить понимание. Рассмотрим графическое представление.

Предположим, что функция f(x, y) представлена поверхностью в трехмерном пространстве:

наклон вдоль оси x наклон вдоль оси y

В этой простой диаграмме синяя линия показывает, как ведет себя наклон поверхности при изменении переменной x при удержании y постоянной, что представляет частная производная по отношению к x. Красная линия показывает аналогичную концепцию, но для изменения y при удержании x постоянной.

Применение частных производных

Градиентный вектор

Важное использование частных производных заключается в создании градиентного вектора. Для данной функции f(x, y, z) градиент — это вектор, который указывает в направлении наибольшего роста функции, а его величина — это скорость роста. Градиентный вектор состоит из частных производных по каждой переменной:

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)

Касательная плоскость

Частные производные используются для определения уравнений касательных плоскостей к поверхностям в точках. Рассмотрим поверхность z = f(x, y) Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке (x0, y0, z0):

z - z0 = (∂f/∂x)x=x0 (x - x0) + (∂f/∂y)y=y0 (y - y0)

Возьмем пример функции f(x, y) = x2 + y2:

Найдите касательную плоскость в (1, 1, 2).

∂f/∂x = 2x ∂f/∂y = 2y При точке (1, 1, 2): 
z - 2 = 2(1)(x - 1) + 2(1)(y - 1)
z - 2 = 2(x - 1) + 2(y - 1)
z = 2x + 2y - 2

Частные производные высших порядков

Как и в однопеременном анализе, мы можем вычислять производные высших порядков в многомерном анализе. Вторые частные производные особенно интересны. Они вычисляются путем дифференцирования первой частной производной.

  • Вторая частная производная по x — это ∂²f/∂x².
  • Смешанные частные производные, как ∂²f/∂x∂y, вычисляются путем дифференцирования сначала по y, а затем по x, или наоборот.

Пример частных производных высшего порядка

Дана функция f(x, y) = x2y + y3:

  • Сначала вычислите частную производную первого порядка:
    • ∂f/∂x = 2xy ∂f/∂y = x2 + 3y2
  • Затем вычислите вторую производную:
    • ∂²f/∂x² = ∂/∂x (2xy) = 2y
∂²f/∂y² = ∂/∂y (x2 + 3y2) = 6y
∂²f/∂x∂y = ∂/∂y (2xy) = 2x
∂²f/∂y∂x = ∂/∂x (x2 + 3y2) = 2x

Симметрия в смешанных частных производных

Важная теорема в дифференциальном анализе известна как "Теорема Клеро" или "Теорема Шварца" о смешанных частных производных. Она утверждает, что если функция и производная, вовлеченная в расчет, непрерывны, то смешанные частные производные равны. Другими словами:

∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x

Демонстрация примера

Рассмотрим функцию f(x, y) = x3y + xy3 Покажем симметрию смешанных частных производных.

  • Частные производные первого порядка:
    • ∂f/∂x = 3x2y + y3 ∂f/∂y = x3 + 3xy2
  • Смешанные частные производные:
    • ∂²f/∂x∂y = ∂/∂y (3x2y + y3) = 3x2 + 3y2 
∂²f/∂y∂x = ∂/∂x (x3 + 3xy2) = 3x2 + 3y2

Таким образом, докажите ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x для этой функции.

Заключение

Частные производные важны для понимания, как изменяются многомерные функции. Они позволяют исследовать градиенты, понимать касательные плоскости и решать сложные дифференциальные уравнения. Симметрия смешанных частных производных обеспечивает согласованность и добавляет изящество математическим вычислениям.

Это всеобъемлющее руководство по частным производным послужит основой для дальнейшего изучения тем многомерного анализа и их приложений в различных областях.


Бакалавриат → 2.3.1


U
username
0%
завершено в Бакалавриат

← предыдущая (2.3)
Многомерное исчисление
следующая (2.3.2) →
Градиент в многомерном исчислении

комментарии 



Частная производная

https://www.buddymath.com/ug/2.3.1?bmal=ru