Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Derivada parcial


Compreendendo derivadas parciais

A derivada parcial é um conceito fundamental no cálculo multivariável, que é o estudo de funções que envolvem múltiplas variáveis. Enquanto o cálculo ordinário lida com funções de uma única variável, o cálculo multivariável estende essas ideias para funções de mais de uma variável. Essa extensão permite a descoberta de um novo mundo de entendimento matemático, que é aplicável em vários campos científicos, como física, engenharia, economia e outros.

Considere uma função f(x, y), onde a saída depende de duas variáveis de entrada, x e y. Para uma função de duas variáveis, as derivadas parciais capturam como a função muda em relação a cada variável individual mantendo a outra constante.

O que é uma derivada parcial?

A derivada parcial de uma função em relação a uma de suas variáveis mede como a função muda quando essa variável específica muda, mantendo todas as outras variáveis constantes. Em outras palavras, quando você calcula a derivada parcial em relação a x, você trata y como uma constante e diferencia em relação a x, assim como faria no cálculo de uma única variável.

Notação matemática

Existem várias notações usadas para derivadas parciais. Se f(x, y) é uma função, então:

  • A derivada parcial de f em relação a x é denotada por ∂f/∂x ou fx.
  • A derivada parcial em relação a y é ∂f/∂y ou fy.

Cálculo de exemplo

Considere a função f(x, y) = 3x2y + 2y3 - 5x.

Para encontrar a derivada parcial de f em relação a x, denotada por ∂f/∂x, diferencie-a em relação a x:

∂f/∂x = ∂/∂x (3x2y + 2y3 - 5x) = 6xy - 5.

Aqui, y é considerada constante.

Para a derivada parcial em relação a y, ∂f/∂y é representada por:

∂f/∂y = ∂/∂y (3x2y + 2y3 - 5x) = 3x2 + 6y2.

Desta vez, x é considerada uma constante.

Visualizando derivadas parciais

Visualizar como as derivadas parciais funcionam pode aprofundar ainda mais a compreensão. Vamos considerar uma representação gráfica.

Suponha que a função f(x, y) seja representada como uma superfície em um espaço tridimensional:

inclinação ao longo do eixo x inclinação ao longo do eixo y

Neste diagrama simples, a linha azul mostra como o declive da superfície se comporta quando você altera a variável x enquanto mantém y constante, o que representa a derivada parcial em relação a x. A linha vermelha mostra um conceito semelhante, mas para uma mudança em y enquanto mantém x constante.

Aplicações de derivadas parciais

Vetor gradiente

Um uso importante das derivadas parciais é na criação do vetor gradiente. Para uma função dada f(x, y, z), o gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função, e sua magnitude é a taxa de aumento. O vetor gradiente é composto das derivadas parciais em relação a cada variável:

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)

Plano tangente

As derivadas parciais são usadas para determinar as equações dos planos tangentes a superfícies em pontos. Considere uma superfície z = f(x, y). A equação do plano tangente à superfície no ponto (x0, y0, z0) é:

z - z0 = (∂f/∂x)x=x0 (x - x0) + (∂f/∂y)y=y0 (y - y0)

Vamos pegar uma função de exemplo f(x, y) = x2 + y2:

Encontre o plano tangente em (1, 1, 2).

∂f/∂x = 2x ∂f/∂y = 2y No ponto (1, 1, 2): 
z - 2 = 2(1)(x - 1) + 2(1)(y - 1)
z - 2 = 2(x - 1) + 2(y - 1)
z = 2x + 2y - 2

Derivadas parciais de ordem superior

Assim como no cálculo de uma única variável, podemos calcular derivadas de ordem superior no cálculo multivariável. As derivadas parciais de segunda ordem são particularmente interessantes. Elas são calculadas diferenciando a primeira derivada parcial.

  • A derivada parcial de segunda ordem em relação a x é ∂²f/∂x².
  • As derivadas parciais mistas, como ∂²f/∂x∂y, são calculadas diferenciando primeiro em relação a y, e depois em relação a x, ou vice-versa.

Exemplo de derivadas parciais de ordem superior

É dada uma função f(x, y) = x2y + y3:

  • Primeiro, calcule a derivada parcial de primeira ordem:
    • ∂f/∂x = 2xy ∂f/∂y = x2 + 3y2
  • Em seguida, calcule a derivada de segunda ordem:
    • ∂²f/∂x² = ∂/∂x (2xy) = 2y
∂²f/∂y² = ∂/∂y (x2 + 3y2) = 6y
∂²f/∂x∂y = ∂/∂y (2xy) = 2x
∂²f/∂y∂x = ∂/∂x (x2 + 3y2) = 2x

Simetria nas derivadas parciais mistas

Um importante teorema no cálculo diferencial é conhecido como o "Teorema de Clairaut" ou o "Teorema de Schwartz" em relação às derivadas parciais mistas. Afirma que se a função e a derivada envolvidas são contínuas, então as derivadas parciais mistas são iguais. Em outras palavras:

∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x

Demonstração de exemplo

Considere a função f(x, y) = x3y + xy3. Vamos mostrar a simetria das derivadas parciais mistas.

  • Derivada parcial de primeira ordem:
    • ∂f/∂x = 3x2y + y3 ∂f/∂y = x3 + 3xy2
  • Derivadas parciais mistas:
    • ∂²f/∂x∂y = ∂/∂y (3x2y + y3) = 3x2 + 3y2 
∂²f/∂y∂x = ∂/∂x (x3 + 3xy2) = 3x2 + 3y2

Assim, prova-se ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x para esta função.

Conclusão

As derivadas parciais são importantes para entender como as funções multivariáveis mudam. Elas nos permitem explorar gradientes, entender planos tangentes e resolver equações diferenciais complexas. A simetria das derivadas parciais mistas garante consistência e adiciona elegância aos cálculos matemáticos.

Este guia abrangente sobre derivadas parciais servirá como base para uma exploração mais aprofundada dos tópicos de cálculo multivariável e suas aplicações em vários campos de estudo.


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