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आंशिक अवकलज
आंशिक अवकलजों की समझ
आंशिक अवकलज एक महत्वपूर्ण संकल्पना है बहुपर्यायी कलन में, जो उन फलनों के अध्ययन से सम्बंधित है जो कई चर सम्मिलित करते हैं। जहां साधारण कलन एकल चर के फलनों से सम्बंधित होता है, वहीं बहुपर्यायी कलन इन विचारों का विस्तार एक से अधिक चर के फलनों तक करता है। यह विस्तार एक नए गणितीय समझ की दुनिया की खोज की अनुमति देता है, जो भौतिकी, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र, इत्यादि जैसे विभिन्न वैज्ञानिक क्षेत्रों में लागू होती है।
एक फलन f(x, y) पर विचार करें, जहां आउटपुट दो इनपुट चर, x और y, पर निर्भर करता है। दो चर वाले एक फलन के लिए, आंशिक अवकलज यह दर्शाता है कि एक चर को स्थिर रखते हुए दूसरे के संबंध में फलन कैसे बदलता है।
आंशिक अवकलज क्या होता है?
एक फलन के एक विशेष चर के संबंध में आंशिक अवकलज यह मापता है कि जब वह विशिष्ट चर बदलता है तब फलन कैसे बदलता है, अन्य सभी चर स्थिर रहते हैं। दूसरे शब्दों में, जब आप x के संबंध में आंशिक अवकलज की गणना करते हैं, तो आप y को स्थिर मानते हैं और x के संबंध में अवकलन करते हैं, जैसे कि आप एकल चर कलन में करते हैं।
गणितीय संकेतन
आंशिक अवकलज के लिए कई संकेतन होते हैं। यदि f(x, y) एक फलन है, तो:
xके संबंध मेंfका आंशिक अवकलज∂f/∂xयाfxद्वारा निर्दिष्ट होता है।yके संबंध में आंशिक अवकलज∂f/∂yयाfyहोता है।
उदाहरण गणना
फलन f(x, y) = 3x2y + 2y3 - 5x पर विचार कीजिए।
x के संबंध में f के आंशिक अवकलज को ज्ञात करने के लिए, जिसे ∂f/∂x द्वारा दर्शाया गया है, इसे x के संबंध में अवकलन करें:
∂f/∂x = ∂/∂x (3x2y + 2y3 - 5x) = 6xy - 5.यहां, y को स्थिर माना गया है।
y के संबंध में आंशिक अवकलज के लिए, ∂f/∂y इस प्रकार प्रदर्शित है:
∂f/∂y = ∂/∂y (3x2y + 2y3 - 5x) = 3x2 + 6y2.इस समय, x को स्थिर माना गया है।
आंशिक अवकलजों का दृश्यारण
यह समझने के लिए कि आंशिक अवकलज कैसे काम करते हैं, उनका दृश्यारण और गहरा समझ विकसित कर सकता है। चलिए एक ग्राफिकल अभ्यRepresentation की चर्चा करते हैं।
मान लीजिए कि फलन f(x, y) को तीन आयामी अंतरिक्ष में एक सतह के रूप में प्रदर्शित किया गया है:
इस साधारण आरेखन में, नीली रेखा दर्शाती है कि जब आप x चर को बदलते रहते हैं जबकि y स्थिर रहता है, सतह ढलान कैसे व्यवहार करती है, जो x के संबंध में आंशिक अवकलज का प्रतिनिधित्व करती है। लाल रेखा इसी अवधारणा को दर्शाती है, पर y में बदलाव के लिए जबकि x स्थिर रहता है।
आंशिक अवकलजों के अनुप्रयोग
अनुप्रस्थ वेक्टर
आंशिक अवकलजों का एक महत्वपूर्ण उपयोग अनुप्रस्थ वेक्टर बनाने के लिए होता है। किसी दिए गए फलन f(x, y, z) के लिए, अनुप्रस्थ वेक्टर उस दिशा की ओर संकेत करता है जिसमें फलन की वृद्धि की दर सबसे अधिक होती है, और इसकी परिमाण वृद्धि की दर होती है। अनुप्रस्थ वेक्टर प्रत्येक चर के संबंध में आंशिक अवकलजों से बना होता है:
∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)स्पर्शीय तल
स्पर्शीय तल की समीकरणों का निर्धारण करने के लिए आंशिक अवकलजों का उपयोग किया जाता है। एक सतह z = f(x, y) पर विचार करें। सतह पर बिंदु (x0, y0, z0) पर स्पर्शीय तल का समीकरण होता है:
z - z0 = (∂f/∂x)x=x0 (x - x0) + (∂f/∂y)y=y0 (y - y0)आइए एक उदाहरण फलन f(x, y) = x2 + y2 का उदाहरण लें:
(1, 1, 2) पर स्पर्शीय तल ज्ञात करें।
∂f/∂x = 2x ∂f/∂y = 2y बिंदु पर (1, 1, 2):
z - 2 = 2(1)(x - 1) + 2(1)(y - 1)
z - 2 = 2(x - 1) + 2(y - 1)
z = 2x + 2y - 2उच्च क्रम के आंशिक अवकलज
सिंगल चर कलन की तरह ही, हम बहुपर्यायी कलन में उच्च क्रम के अवकलज भी निकाल सकते हैं। विशेष रूप से दूसरे क्रम के आंशिक अवकलज रोचक होते हैं। वे पहले आंशिक अवकलज के अंतरकरण से प्राप्त होते हैं।
xके संबंध में दूसरे क्रम का आंशिक अवकलज∂²f/∂x²होता है।- मिश्रित आंशिक अवकलज, जैसे
∂²f/∂x∂y, पहलेyके संबंध में और फिरxके संबंध में अंतरित्रण करके निकाले जाते हैं, या इसके विपरीत।
उच्च क्रम के आंशिक अवकलज का उदाहरण
एक फलन f(x, y) = x2y + y3 दिया गया है:
- पहले, पहले क्रम के आंशिक अवकलज की गणना करें:
∂f/∂x = 2xy ∂f/∂y = x2 + 3y2∂²f/∂x² = ∂/∂x (2xy) = 2y
∂²f/∂y² = ∂/∂y (x2 + 3y2) = 6y
∂²f/∂x∂y = ∂/∂y (2xy) = 2x
∂²f/∂y∂x = ∂/∂x (x2 + 3y2) = 2xमिश्रित आंशिक अवकलजों में समरूपता
अवकल गणित में एक महत्वपूर्ण प्रमेय को "क्लेअरुट प्रमेय" या "श्वार्ज प्रमेय" के रूप में जाना जाता है जो मिश्रित आंशिक अवकलजों के बारे में है। यह कहता है कि यदि फलन और संबंधित अवकल निरन्तर हैं, तो मिश्रित आंशिक अवकलज समान होते हैं। दूसरे शब्दों में:
∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂xउदाहरण प्रदर्शन
फलन f(x, y) = x3y + xy3 पर विचार करें। मिश्रित आंशिक अवकलजों की समरूपता को दर्शाएं।
- पहले क्रम का आंशिक अवकलज:
∂f/∂x = 3x2y + y3 ∂f/∂y = x3 + 3xy2∂²f/∂x∂y = ∂/∂y (3x2y + y3) = 3x2 + 3y2
∂²f/∂y∂x = ∂/∂x (x3 + 3xy2) = 3x2 + 3y2इस प्रकार, इस फलन के लिए ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x को सिद्ध करें।
निष्कर्ष
आंशिक अवकलज बहुपर्यायी फलनों के परिवर्तन की समझ के लिए महत्वपूर्ण हैं। वे हमें अनुप्रस्थ वेक्टरों का अन्वेषण करने, स्पर्शीय तल को समझने, और जटिल अवकल समीकरणों को हल करने की अनुमति देते हैं। मिश्रित आंशिक अवकलजों की समरूपता सामंजस्य सुनिश्चित करती है और गणितीय गणनाओं में शोभा जोड़ती है।
आंशिक अवकलजों पर यह व्यापक मार्गदर्शिका विभिन्न अध्ययन क्षेत्रों में बहुपर्यायी कलन विषयों और उनके अनुप्रयोगों की आगे की खोज के लिए एक आधार के रूप में कार्य करेगी।
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