Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Derivada parcial


Comprendiendo las derivadas parciales

La derivada parcial es un concepto fundamental en el cálculo multivariable, que es el estudio de funciones que involucran múltiples variables. Mientras que el cálculo ordinario trata con funciones de una sola variable, el cálculo multivariable extiende esas ideas a funciones de más de una variable. Esta extensión permite el descubrimiento de todo un nuevo mundo de comprensión matemática, que es aplicable en varios campos científicos, como la física, la ingeniería, la economía, y otros.

Consideremos una función f(x, y), donde la salida depende de dos variables de entrada, x y y. Para una función de dos variables, las derivadas parciales capturan cómo cambia la función con respecto a cada variable individual mientras se mantiene constante la otra.

¿Qué es una derivada parcial?

La derivada parcial de una función con respecto a una de sus variables mide cómo cambia la función cuando esa variable específica cambia, manteniendo todas las demás variables constantes. En otras palabras, cuando calculas la derivada parcial con respecto a x, tratas y como una constante y diferencias con respecto a x, tal como lo harías en el cálculo de una variable.

Notación matemática

Hay varias notaciones utilizadas para las derivadas parciales. Si f(x, y) es una función, entonces:

  • La derivada parcial de f con respecto a x se denota por ∂f/∂x o fx.
  • La derivada parcial con respecto a y es ∂f/∂y o fy.

Ejemplo de cálculo

Consideremos la función f(x, y) = 3x2y + 2y3 - 5x.

Para encontrar la derivada parcial de f con respecto a x, denotada por ∂f/∂x, diferénciala con respecto a x:

∂f/∂x = ∂/∂x (3x2y + 2y3 - 5x) = 6xy - 5.

Aquí, y se considera constante.

Para la derivada parcial con respecto a y, ∂f/∂y se representa por:

∂f/∂y = ∂/∂y (3x2y + 2y3 - 5x) = 3x2 + 6y2.

Esta vez, x se considera una constante.

Visualizando las derivadas parciales

Visualizar cómo funcionan las derivadas parciales puede profundizar aún más la comprensión. Consideremos una representación gráfica.

Supongamos que la función f(x, y) está representada como una superficie en el espacio tridimensional:

pendiente a lo largo del eje x pendiente a lo largo del eje y

En este diagrama simple, la línea azul muestra cómo se comporta la pendiente de la superficie cuando cambias la variable x mientras mantienes y constante, lo que representa la derivada parcial con respecto a x. La línea roja muestra un concepto similar, pero para un cambio en y mientras mantienes x constante.

Aplicaciones de las derivadas parciales

Vector gradiente

Un uso importante de las derivadas parciales es la creación del vector gradiente. Para una función dada f(x, y, z), el gradiente es un vector que apunta en la dirección de la mayor tasa de incremento de la función, y su magnitud es la tasa de incremento. El vector gradiente está compuesto de las derivadas parciales con respecto a cada variable:

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)

Plano tangente

Las derivadas parciales se utilizan para determinar las ecuaciones de los planos tangentes a las superficies en los puntos. Consideremos una superficie z = f(x, y) La ecuación del plano tangente a la superficie en el punto (x0, y0, z0) es:

z - z0 = (∂f/∂x)x=x0 (x - x0) + (∂f/∂y)y=y0 (y - y0)

Tomemos una función de ejemplo f(x, y) = x2 + y2:

Encuentra el plano tangente en (1, 1, 2).

∂f/∂x = 2x ∂f/∂y = 2y En el punto (1, 1, 2): 
z - 2 = 2(1)(x - 1) + 2(1)(y - 1)
z - 2 = 2(x - 1) + 2(y - 1)
z = 2x + 2y - 2

Derivadas parciales de orden superior

Al igual que en el cálculo de una sola variable, podemos calcular derivadas de orden superior en el cálculo multivariable. Las derivadas parciales de segundo orden son particularmente interesantes. Se calculan diferenciando la primera derivada parcial.

  • La derivada parcial de segundo orden con respecto a x es ∂²f/∂x².
  • Las derivadas parciales mixtas, como ∂²f/∂x∂y, se calculan diferenciando primero con respecto a y, y luego con respecto a x, o viceversa.

Ejemplo de derivadas parciales de orden superior

Se da una función f(x, y) = x2y + y3:

  • Primero, calcula la derivada parcial de primer orden:
    • ∂f/∂x = 2xy ∂f/∂y = x2 + 3y2
  • A continuación, calcula la derivada de segundo orden:
    • ∂²f/∂x² = ∂/∂x (2xy) = 2y
∂²f/∂y² = ∂/∂y (x2 + 3y2) = 6y
∂²f/∂x∂y = ∂/∂y (2xy) = 2x
∂²f/∂y∂x = ∂/∂x (x2 + 3y2) = 2x

Simetría en las derivadas parciales mixtas

Un importante teorema en cálculo diferencial es conocido como el "teorema de Clairaut" o el "teorema de Schwartz" respecto a las derivadas parciales mixtas. Establece que si la función y la derivada involucrada son continuas, entonces las derivadas parciales mixtas son iguales. En otras palabras:

∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x

Demostración de ejemplo

Consideremos la función f(x, y) = x3y + xy3 Mostremos la simetría de las derivadas parciales mixtas.

  • Derivada parcial de primer orden:
    • ∂f/∂x = 3x2y + y3 ∂f/∂y = x3 + 3xy2
  • Derivadas parciales mixtas:
    • ∂²f/∂x∂y = ∂/∂y (3x2y + y3) = 3x2 + 3y2 
∂²f/∂y∂x = ∂/∂x (x3 + 3xy2) = 3x2 + 3y2

Por lo tanto, prueba ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x para esta función.

Conclusión

Las derivadas parciales son importantes para comprender cómo cambian las funciones multivariables. Nos permiten explorar gradientes, entender planos tangentes y resolver ecuaciones diferenciales complejas. La simetría de las derivadas parciales mixtas asegura consistencia y añade elegancia a los cálculos matemáticos.

Esta guía comprensiva sobre las derivadas parciales servirá como base para una exploración más profunda de los temas de cálculo multivariable y sus aplicaciones en varios campos de estudio.


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