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असम्मित समाकलन
कलन में, समाकलन एक मौलिक अवधारणा है जो हमें वक्रों के नीचे के क्षेत्र को खोजने में मदद करता है, अन्य कई अनुप्रयोगों के बीच। यह अवधारणा थोड़ा और जटिल हो जाती है जब हम असम्मित समाकलन के क्षेत्र में प्रवेश करते हैं। एक असम्मित समाकलन वह है जो तब उत्पन्न होता है जब वह फलन जिसके हमने समाकलन करना है अनबाउंडेड होता है या जब समाकलन की सीमा अनंत होती हैं, जो कि निश्चित समाकलन के पारंपरिक सेटअप में फिट नहीं होते हैं।
विस्तृत रूप से, असम्मित समाकलन हमें निश्चित समाकलन के विचारों को एक विस्तृत वर्ग के फलनों और अंतरालों में विस्तारित करने में मदद करते हैं जिनमें अनंतता शामिल है। वे स्नातक गणित में एक आवश्यक विषय हैं, क्योंकि वे समाकलनों को शामिल करते हैं जो वास्तविक-विश्व समस्याओं से निपटते समय अक्सर सामना किए जाते हैं।
असम्मित समाकलन के प्रकार
असम्मित समाकलन के मुख्य रूप से दो प्रकार होते हैं:
- अनंत सीमाओं वाले असम्मित समाकलन
- असीमित समाकलनों वाले असम्मित समाकलन
1. अनंत सीमाओं वाले असम्मित समाकलन
पहला प्रकार तब होता है जब समाकलन की एक या दोनों सीमाएँ -∞ या ∞ होती हैं। मान लें कि हम इस समाकलन पर विचार कर रहे हैं:
∫ a ∞ f(x) dx
यहाँ, समाकलन की ऊपरी सीमा अनंत है। हमें इसे एक सीमा के रूप में मूल्यांकित करने की आवश्यकता है। हम इसे इस प्रकार पुनः लिखते हैं:
lim b→∞ ∫ a b f(x) dx
यदि यह सीमा विद्यमान है और सीमित है, तो हम कहते हैं कि असम्मित समाकलन अभिसरित होता है। यदि यह अभिसरित नहीं होता है, तो हम कहते हैं कि यह अपभिसरित होता है।
आइए एक सरल उदाहरण पर विचार करें:
∫ 1 ∞ (1/x 2 ) dx
इसे सीमाओं का उपयोग करके पुनः लिखते हुए, हमें मिलता है:
lim b→∞ ∫ 1 b (1/x 2 ) dx
समाकलन को पाकर, हमें प्राप्त होता है:
= lim b→∞ [-1/x] 1 b
= lim b→∞ [-1/b + 1/1]
= lim b→∞ (1 - 1/b)
= 1
अत: यह समाकलन 1 पर अभिसरित होता है।
2. असीमित समाकलनों वाले असम्मित समाकलन
असम्मित समाकलन का दूसरा प्रकार तब उत्पन्न होता है जब समाकलनीय फलन के अंतराल [a, b] में या उसके सीमाओं पर एक अनंत असातत्यता हो। उदाहरण के लिए:
∫ 0 1 (1/√x) dx
यहां पर, समाकलन अनंत हो जाता है जब x शून्य के समीप होता है। हमें इसे इस प्रकार लिखना चाहिए:
lim t→0⁺ ∫ t 1 (1/√x) dx
आइए इसे चरण-दर-चरण मूल्यांकन करें:
= lim t→0⁺ [2√x] t 1
= lim t→0⁺ [2√1 - 2√t]
= 2 - 0
= 2
इस मामले में समाकलन 2 पर अभिसरित होता है।
दृश्यात्मक उदाहरण
इन विचारों को बेहतर रूप से समझने के लिए, आइए कुछ दृश्यात्मक उदाहरण का उपयोग करें।
कल्पना करें कि हम फलन f(x) = 1/x 2 का समाकलन [1, ∞] के अंतराल पर कर रहे हैं। यह फलन इस प्रकार दिखता है:
यह ग्राफ दिखाता है कि जैसे ही x अनंतता के समीप पहुंचता है, फलन का मान घटता है और x-अक्ष के समीप हो जाता है, जो कि इस संदर्भ में अभिसरण को संकेत करता है।
अब, f(x) = 1/√x पर विचार करें [0, 1] के अंतराल पर। फलन इस प्रकार दिखता है:
यह दिखाता है कि फलन अनंतता तक बढ़ता है जैसे ही यह शून्य के समीप होता है, लेकिन जैसे ही यह दाएँ बढ़ते हुए 1 के समीप होता है, वह गिर जाता है।
असम्मित समाकलनों का अभिसरण परीक्षण करना
असम्मित समाकलनों के अभिसरण या अपभिसरण को निर्धारित करना महत्वपूर्ण है। अभिसरण परीक्षण के कई तरीके हैं:
1. तुलना परीक्षण
तुलना परीक्षण में असम्मित समाकलन की तुलना एक दूसरे समाकलन के साथ की जाती है जिसकी अभिसरणता पहले से ज्ञात है। मूल विचार यह है:
- यदि
0 ≤ f(x) ≤ g(x)अंतराल में सभी x के लिए हो, और यदि∫ g(x) dxअभिसरित है, तो∫ f(x) dxभी अभिसरित है। - यदि
f(x) ≥ g(x) ≥ 0सभी x के लिए, और यदि∫ g(x) dxअपभिसरित है, तो∫ f(x) dxभी अपभिसरित है।
उदाहरण: दिखाएं कि ∫ 1 ∞ (1/(x²+1)) dx अभिसरित है।
इसकी तुलना ∫ 1 ∞ (1/x²) dx से करें, जो हम जानते हैं कि अभिसरित है। स्पष्ट रूप से, 0 ≤ 1/(x²+1) ≤ 1/x² अतः तुलना परीक्षण से, ∫ 1 ∞ (1/(x²+1)) dx भी अभिसरित है।
2. सीमा तुलना परीक्षण
सीमा तुलना परीक्षण तुलना परीक्षण का एक विस्तार है, जहां हम मान लेते हैं कि f(x) > 0 और g(x) > 0 हैं।
परिभाषित करें:
lim x→∞ [f(x)/g(x)] = l
यदि L एक सकारात्मक सीमित संख्या है, तो ∫ f(x) dx और ∫ g(x) dx दोनों ही या तो अभिसरित होंगे या अपभिसरित होंगे।
उदाहरण: विचार करें ∫ 1 ∞ (3/(2x²+5x+3)) dx।
मान लें कि g(x) = 1/x²। अब गणना करें:
L = lim x→∞ [(3/(2x²+5x+3))/(1/x²)]
सरलीकरण:
= lim x→∞ [3x²/(2x²+5x+3)]
= lim x→∞ [3/(2+(5/x)+(3/x²))]
= 3/2
चूंकि L एक सकारात्मक सीमित संख्या है, दोनों समाकलन एकसाथ अभिसरित होते हैं। अतः, ∫ 1 ∞ (3/(2x²+5x+3)) dx अभिसरित होता है।
अनुप्रयोग और महत्व
असम्मित समाकलन गणित और विज्ञान में हर जगह पाए जाते हैं। वे प्रायिकता सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से अनंत समर्थन के साथ वितरण निर्धारित करने में। जब दूरी अनंत होती है तब बल द्वारा किए गए कुल काम का मूल्यांकन करने के लिए वे भौतिकी में भी प्रकट होते हैं।
इसके अतिरिक्त, गणिका में कई परिणाम और तकनीकें, जैसे कि समिश्र विश्लेषण में अवशेष प्रमेय, ज्यामिति में सुंदर प्रमाण, और अवकल समीकरणों के समाधान, भी असम्मित समाकलनों का उपयोग करते हैं।
निष्कर्ष
असम्मित समाकलनों को समझना गणित का ज्ञान मजबूत करने का अभिन्न भाग है। उनका अभिसरण या अपभिसरण यह निर्धारित करता है कि क्या कुछ क्षेत्र, संभावनाएँ, और भौतिक मात्राएँ प्रभावी रूप से गणना की जा सकती हैं। इस विषय का अच्छी तरह से अध्ययन करने के लिए सीमाओं के साथ सहज होना और अभिसरण के लिए विभिन्न परीक्षणों से परिचित होना आवश्यक है, जो गहन गणितीय अंतर्दृष्टियों की राह खोलता है।
इन अवधारणाओं को मजबूत करने और उच्च गणितीय संदर्भों में लागू करने के लिए मौलिक समझ विकसित करने के लिए कई उदाहरणों के माध्यम से काम करना महत्वपूर्ण है, दोनों विश्लेषणात्मक और ग्राफिक रूप से।
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