Graduação → Cálculos → Cálculo diferencial ↓
Aplicações das derivadas
As derivadas são um bloco básico na cálculo, e suas aplicações são variadas e de longo alcance. Nesta lição, exploraremos diferentes maneiras de aplicar derivadas a uma variedade de problemas e áreas. Discutiremos como as derivadas são usadas para entender taxas de variação, resolver problemas de otimização, analisar movimentos e muito mais.
Entendendo as taxas de variação
Um dos principais conceitos em cálculo é a ideia de taxa de variação. A derivada de uma função nos fornece a taxa em que o valor da função em qualquer ponto está mudando. Isso pode ser pensado como a inclinação ou inclinação da função.
Por exemplo, considere a posição de um carro como uma função do tempo, s(t). A derivada de s(t) em relação ao tempo, s'(t), representa a taxa de variação da velocidade ou da posição do carro.
Exemplo: velocidade e aceleração
Suponha que temos uma função de posição s(t) = t^3 + 2t^2 + 5. Para encontrar a velocidade, tomamos a derivada:
Se ( s(t) = t^3 + 2t^2 + 5 ), Então, ( v(t) = s'(t) = 3t^2 + 4t ).
Para a aceleração, que é a taxa de variação da velocidade, tomamos a derivada da função de velocidade:
( a(t) = v'(t) = (3t^2 + 4t)' = 6t + 4 ).
Problemas de otimização
As derivadas são ferramentas incrivelmente poderosas para resolver problemas de otimização, onde tentamos encontrar os valores máximos ou mínimos que uma função pode atingir. Este princípio é usado em economia, engenharia e vários campos que requerem tal avaliação.
A abordagem geral é encontrar os pontos críticos definindo a derivada igual a zero e resolvendo para a variável. Esses pontos críticos são então analisados para determinar se são máximos, mínimos ou pontos de sela usando o teste da segunda derivada.
Exemplo: encontrando a área máxima
Considere um campo retangular com um perímetro fixo de 100 m, e queremos encontrar as dimensões que darão a área máxima. Suponha o comprimento x e a largura y. Sabemos que 2x + 2y = 100, o que torna y = 50 - x.
A área A pode ser dada pela seguinte equação:
( a = x times y = x times (50 - x) = 50x - x^2 ).
Tomar a derivada de A em relação a x:
( a'(x) = 50 - 2x ).
Definindo a derivada igual a zero:
50 - 2x = 0 rightarrow 2x = 50 rightarrow x = 25 ).
Assim, quando x = 25, y = 50 - 25 = 25.
A segunda derivada é:
( a''(x) = -2 ),
que é menor que zero, indicando um máximo local. Portanto, a área máxima ocorre quando os dois lados têm 25 m, formando um quadrado.
Análise de movimento na física
Na física, as derivadas servem como a base na análise de movimento. Os conceitos de velocidade, aceleração e tranco (taxa de variação da aceleração) são todas derivadas da função de posição em relação ao tempo, o que as torna importantes na análise e previsão do movimento de objetos.
Exemplo: análise do movimento de projéteis
Imagine que você está jogando uma bola para cima com uma velocidade inicial de 1. A função de posição pode ser modelada por s(t) = -4.9t^2 + 20t, onde t é o tempo em segundos, e s(t) é a altura em metros.
Derivar a expressão para a velocidade:
Se ( s(t) = -4.9t^2 + 20t ), Então ( v(t) = s'(t) = -9.8t + 20 ).
Para a aceleração:
( A(t) = V'(t) = -9.8 ).
Isso representa uma aceleração constante devido à gravidade. Ao resolver v(t) = 0, podemos encontrar quando a bola atinge seu ponto mais alto:
-9.8t + 20 = 0
Rightarrow -9.8t = -20
Rightarrow t approx 2.04 text{ segundos}.
Portanto, a bola atinge seu ponto mais alto em cerca de 2,04 segundos.
Análise da curvatura e forma
A derivada também pode ser usada para analisar a curvatura de um gráfico e determinar a concavidade. Isso inclui a segunda derivada, que nos diz como a inclinação da função está mudando. Uma segunda derivada positiva indica um gráfico côncavo para cima, enquanto uma segunda derivada negativa mostra um gráfico côncavo para baixo.
Exemplo: determinando a concavidade
Considere a função f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x. Encontramos primeiro as primeiras e segundas derivadas:
f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 f''(x) = 6x - 6
Para encontrar os intervalos de concavidade, definimos a segunda derivada como zero:
6x – 6 = 0 Rightarrow 6x = 6 rightarrow x = 1.
Testando intervalos, vamos considerar os valores em torno de x = 1:
- Para x < 1, por exemplo, x = 0, f''(x) = 6(0) - 6 = -6 (negativo, côncavo para baixo). - Para x > 1, por exemplo, x = 2, f''(x) = 6(2) - 6 = 6 (positivo, côncavo para cima).
Assim, a função muda de concavidade em x = 1, onde potencialmente possui um ponto de inflexão.
Aplicações econômicas
Em economia, as derivadas são usadas para modelar muitos conceitos-chave, como custo e receita marginais, que ajudam na tomada de decisões empresariais.
Exemplo: custo marginal
Se a função de custo é dada por C(x) = 5x^2 - 2x + 30, onde x é o número de unidades produzidas, então o custo marginal é a derivada da função de custo:
MC(x) = C'(x) = 10x - 2.
A função de custo marginal fornece uma estimativa do custo incorrido ao produzir uma unidade adicional de um produto.
Aplicações na geometria
As derivadas desempenham um papel importante na geometria, particularmente na determinação da linha tangente de uma curva, que é um conceito essencial na análise de curvas e inclinações em pontos específicos.
Exemplo: tangente a uma curva
Para a curva definida por y = x^2 + 2x + 1 e um ponto (1, 4), encontre a equação da tangente nesse ponto.
Primeiro, encontramos a derivada para determinar a inclinação da tangente:
y'(x) = 2x + 2.
Avaliando em x = 1:
y'(1) = 2(1) + 2 = 4.
Assim, a inclinação da linha tangente é 4. Usando a forma ponto-inclinação da equação da linha:
y - 4 = 4(x - 1), y = 4x.
Portanto, a equação da tangente no ponto (1, 4) é y = 4x.
Conclusão
As derivadas têm muitas aplicações em diferentes campos. Desde o cálculo de taxas de variação até a resolução de problemas complexos de otimização, da análise do movimento físico à modelagem econômica, as derivadas oferecem ferramentas e insights poderosos. À medida que você continua a explorar e entender as derivadas, encontrará ainda mais aplicações em diferentes disciplinas.
Comentários