Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Diferenciación implícita


La diferenciación implícita es una técnica poderosa en cálculo que nos permite encontrar la derivada de una función incluso cuando no es fácil o posible resolver la función para una variable en términos de la otra. En términos simples, nos ayuda a diferenciar una función dada en forma implícita. Una función implícita es una ecuación donde las variables dependiente e independiente están entrelazadas y no se pueden separar fácilmente.

Entendiendo las funciones incorporadas

Las funciones implícitas involucran dos o más variables que están relacionadas a través de una ecuación. Por ejemplo, considere la ecuación de un círculo:

x² + y² = r²

En esta ecuación, x y y son variables que están conectadas de tal manera que y no se puede resolver fácilmente en términos de x o viceversa. Esto contrasta con una función explícita, como y = x², donde y se expresa explícitamente como una función de x.

Proceso subyacente de diferenciación

La diferenciación implícita involucra algunos pasos principales: diferenciación, aplicación de la regla de la cadena y solución para la derivada deseada. Exploremos estos pasos con ejemplos.

Paso 1: Diferenciación

Diferencie ambos lados de la ecuación subyacente con respecto a la variable independiente. A menudo, esta variable es x. Recuerde aplicar las reglas de derivación que conoce, como la regla del producto y la regla de la potencia.

Paso 2: Aplicar la regla de la cadena

Al diferenciar términos que involucran una variable dependiente, use la regla de la cadena. Por ejemplo, si está diferenciando y² con respecto a x, piense en y como una función de x (incluso si no se puede resolver de manera explícita) y aplique la regla de la cadena:

d(y²)/dx = 2y * dy/dx

Paso 3: Resolver para la derivada

Después de diferenciar, obtendrá una ecuación que involucra dy/dx. El objetivo es resolver esta ecuación para dy/dx, que es la derivada de y con respecto a x.

Ejemplos de diferenciación implícita

Ejemplo 1: Ecuación del círculo

Primero diferenciemos la ecuación del círculo presentada:

x² + y² = r²
  1. Diferenciar ambos lados con respecto a x da:
    d(x²)/dx + d(y²)/dx = d(r²)/dx
  2. Usos de las derivadas:
    2x + 2y(dy/dx) = 0
  3. Solución de dy/dx:
    2y(dy/dx) = -2x
    dy/dx = -x/y

Ejemplo 2: Ecuación de la elipse

Considere la ecuación de la elipse:

x²/a² + y²/b² = 1
  1. Diferenciar ambos lados con respecto a x da:
    d(x²/a²)/dx + d(y²/b²)/dx = d(1)/dx
  2. Usos de las derivadas:
    (2x/a²) + (2y/b²)(dy/dx) = 0
  3. Solución de dy/dx:
    (2y/b²)(dy/dx) = -2x/a²
    dy/dx = (-x/a²)/(y/b²) = -bx/ay

Mirando la diferenciación subyacente

La diferenciación implícita puede ser más fácil de entender mediante ejemplos visuales. Considere un círculo simple centrado en el origen:

Y X

Esto representa la función implícita x² + y² = r². Si queremos encontrar la pendiente de la tangente en cualquier punto de este círculo, utilizamos diferenciación implícita. El resultado de dy/dx = -x/y nos dice cómo los derivados de x y y en la curva se relacionan entre sí.

Diferenciación implícita en problemas de la vida real

Aplicaciones en física

En física, la diferenciación implícita puede ser útil cuando se trata de tasas de cambio que no se pueden separar fácilmente. Por ejemplo, considere un escenario donde dos objetos se mueven de tal manera que sus posiciones están relacionadas por una ecuación. Diferenciar implícitamente esto da la tasa a la cual las posiciones cambian entre sí.

Aplicaciones en economía

En economía, las funciones implícitas a menudo surgen en problemas de optimización con restricciones, como multiplicadores de Lagrange, donde la diferenciación puede ser necesaria para encontrar equilibrios o tasas de cambio dentro de sistemas restringidos.

Ejercicios y problemas de práctica

Para dominar la diferenciación implícita, practique con diferentes ecuaciones. A continuación, se presentan algunos ejercicios:

Ejercicio 1

Diferencie lo siguiente con respecto a x:

xy = 7

Solución:

  1. Diferencia entre los dos lados:
    x(dy/dx) + y = 0
  2. Solución de dy/dx:
    x(dy/dx) = -y
    dy/dx = -y/x

Ejercicio 2

Encuentre dy/dx para lo siguiente:

sin(xy) = x + y

Solución:

  1. Diferencie ambos lados usando la regla de la cadena:
    cos(xy)(x(dy/dx) + y) = 1 + dy/dx
  2. Reorganice para resolver para dy/dx:
    cos(xy)x(dy/dx) + cos(xy)y = 1 + dy/dx
  3. Agrupe los términos que contienen dy/dx:
    cos(xy)x(dy/dx) - dy/dx = 1 - cos(xy)y
  4. Factorice dy/dx:
    dy/dx(cos(xy)x - 1) = 1 - cos(xy)y
  5. Resuelva para dy/dx:
    dy/dx = (1 - cos(xy)y)/(cos(xy)x - 1)

Conclusión

La diferenciación implícita es un concepto importante en cálculo que mejora nuestra capacidad para manejar relaciones complejas entre variables. Al seguir los pasos de diferenciación, aplicando correctamente la regla de la cadena y resolviendo para la derivada deseada, podemos abordar una amplia gama de problemas matemáticos y de la vida real. Practicar y aplicar estos principios desarrollará la competencia e intuición para manejar funciones implícitas.


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