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सार्थक विश्लेषण का परिचय
सार्थक विश्लेषण गणित की एक शाखा है जो विभिन्न कार्यक्षेत्रों और उन पर काम कर रहे रैखिक ऑपरेटरों के अध्ययन से संबंधित है। यह एक समृद्ध क्षेत्र है जो वेक्टर बीजगणित और कलन की अवधारणाओं को अनंत आयामी स्थानों तक विस्तारित करता है, गणितीय भाषा और ढांचा प्रदान करता है जो कि डिफरेंशियल समीकरणों, क्वांटम मेकानिक्स, संख्यात्मक विश्लेषण और अन्य कई अनुप्रयोगों की समस्याओं को हल करता है। यह व्याख्या स्नातक स्तर की समझ के लिए सार्थक विश्लेषण के प्राथमिक विचारों और अवधारणाओं को सरल बनाने का प्रयास करेगी।
कार्य स्थान क्या हैं?
सार्थक विश्लेषण के केंद्र में कार्य स्थान होते हैं। ये स्थान उन कार्यों के सेट होते हैं जिनकी संरचना उन्हें विश्लेषण के लिए उपयुक्त बनाती है। कार्य स्थानों के शास्त्रीय उदाहरणों में निरंतर कार्यों का स्थान, संगत करने योग्य कार्यों का स्थान और वर्गात्मक संगत कार्यों का स्थान शामिल हैं। आइए कुछ सामान्य कार्य स्थानों पर नजर डालें:
- C(a, b): अंतराल
[a, b]पर सभी निरंतर कार्यों का स्थान - Lp (a,b): p-संगत करने योग्य कार्यों का स्थान
1 ≤ p ≤ ∞के लिए। विशेष रूप से,p = 2के लिए, यह वर्ग संगत कार्यों का स्थान है। - ℓ p : अनुक्रमों का स्थान जिनके पूर्णांक पावर तक योग सकते हैं। साथ ही,
p = 2के लिए, यह वर्ग-सम्मत अनुक्रमों का स्थान है।
रैखिक ऑपरेटर और सीमा
सार्थक विश्लेषण में, हम रैखिक ऑपरेटरों में रुचि रखते हैं, जो कार्य स्थानों के बीच मानचित्रण हैं जो जोड़ और स्केलर गुणात्मक के संचालन को बनाए रखते हैं। उदाहरण के लिए, यदि T एक रैखिक ऑपरेटर है, और f और g कार्यात्मक हैं, और α एक स्केलर है, तब:
T(f + g) = T(f) + T(g)T(αf) = αT(f)एक मुख्य अवधारणा सीमा की है। एक रैखिक ऑपरेटर T कहा जाता है जब उसके लिए एक स्थिरांक C मौजूद होता है, जिससे डोमेन के सभी कार्यों f के लिए असमानता:
||T(f)|| ≤ C ||f||यह सत्य है। सीमित ऑपरेटर लगातार होते हैं और विश्लेषण में सहज होते हैं। यदि ऐसा कोई स्थिरांक C नहीं होता है, तो ऑपरेटर को असीमित कहा जाता है।
स्थानीय और बनाच स्थान
एक मानक स्थान एक वेक्टर स्थान होता है जिसमें एक मानक होती है, जो एक गणित एक्यॉन वेक्टर को एक गैर-नकारात्मक स्केलर मूल्य या "आकार" सौंपती है। अगर इस स्थान में एक अनुक्रम एक सीमा तक अभिसरित होता है और वह सीमा भी स्थान का एक तत्व है, तो इसे पूरा कहा जाता है। एक पूर्ण मानक स्थान को बनाच स्थान कहा जाता है।
मानसिक दृष्टान्त के कुछ उदाहरण हैं:
- ℝ n पर मानक: यूक्लिडियन मानक
||x|| = sqrt(x 1 2 + x 2 2 + ... + x n 2 ). - ℓ p पर मानक: p-मानक
||x|| p = (Σ |x i | p ) 1/p.
इनमें से प्रत्येक मानदंड उनके संबंधित स्थानों में तत्वों के आकार को मापने के लिए एक अनूठा तरीका प्रदान करता है, और विभिन्न मानदंड भिन्न स्थलाकृतिक गुणधर्म प्राप्त कर सकते हैं।
आंतरिक उत्पाद और हिल्बर्ट स्थान
मानक स्थान का एक विशेष मामला एक आंतरिक उत्पाद स्थान होता है, जहां मानक एक आंतरिक उत्पाद से उत्पन्न होता है। एक आंतरिक उत्पाद एक फ़ंक्शन होता है जो एक वेक्टर की जोड़ी, जैसे ⟨f, g⟩, को एक स्केलर सौंपता है, जो अपने पहले तर्क में रैखिकता, सममिति और सकारात्मकता जैसी कुछ गुणधर्मों का पालन करता है।
एक पूर्ण आंतरिक उत्पाद स्थान को हिल्बर्ट स्थान कहा जाता है। यहां आंतरिक उत्पाद का एक सरल उदाहरण है:
⟨f, g⟩ = ∫ a b f(x)g(x) dxहिल्बर्ट स्थान क्वांटम मेकानिक्स और सिग्नल प्रोसेसिंग के लिए मौलिक हैं, साथ ही अन्य क्षेत्रों के लिए भी। वे यूक्लिडियन स्थान के विचारों को अनंत आयामों तक सामान्यीकृत करते हैं, जबकि पहले के गुणों और दूरी को बनाए रखते हैं।
हिल्बर्ट स्थान पर ऑपरेटर
हिल्बर्ट स्थानों में, हम अक्सर दो मुख्य प्रकार के ऑपरेटरों का अध्ययन करते हैं: सीमित और असीमित। सीमित ऑपरेटर वे होते हैं जहां सीमित सेटों के चित्रण सीमित रहते हैं।
चलो एक उदाहरण ऑपरेटर T पर विचार करते हैं निरंतर कार्यों पर एक हिल्बर्ट स्थान पर, जो डेरिवेटिव लेकर परिभाषित किया जाता है, T(f) = f'. यह ऑपरेटर आमतौर पर असीमित होता है, क्योंकि हर सीमित कार्य का सीमित डेरिवेटिव नहीं होता है।
ऐसे ऑपरेटरों के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण अवधारणा ऑपरेटर का स्पेक्ट्रम है, जो अनंत-आयामी स्थानों के लिए मैट्रिस के वैकल्पिक मूल्यों के विचार को विस्तारित करता है।
ऑपरेटर का स्पेक्ट्रम
एक बनाच स्थान पर एक सीमित रैखिक ऑपरेटर T के लिए, इसका स्पेक्ट्रम स्कैलेर्स का समूह होता है λ जैसे कि ऑपरेटर T - λI उल्ट नहीं होता है, जहां I दी गई पहचान ऑपरेटर है।
स्पेक्ट्रम के तीन मुख्य भाग होते हैं:
- बिंदु स्पेक्ट्रम: ऑपरेटर के वैकल्पिक मूल्यों का समर्पण करता है।
- सतत स्पेक्ट्रम: जहां ऑपरेटर उल्ट नहीं होता, फिर भी एक समग्र रूप से परिभाषित उलटे का होता है।
- अवशिष्ट स्पेक्ट्रम: जहां कोई सीमित उलटा नहीं होता।
स्पेक्ट्रम महत्वपूर्ण है क्योंकि यह ऑपरेटर की विशेषताओं के बारे में व्यापक जानकारी प्रदान करता है, जैसे कि वैकल्पिक मूल्यों का मैट्रिस के लिए जानकारी प्रदान करते हैं।
द्वितीय स्थान और हैन-बनाच प्रमेय
एक वेक्टर स्थान का द्वितीय स्थान उस स्थान पर सभी रैखिक फलनों का समूह होता है। रैखिक फलने मानचित्रण होते हैं एक वेक्टर स्थान से उसके आधारभूत स्केलर क्षेत्र तक जो वेक्टर योग और स्केलर गुणात्मक को बनाए रखते ह
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