Теория множества Цермело-Френкеля

Теория множеств Цермело-Френкеля, часто сокращенная как ZF, является основополагающей системой для математики на основе теории множеств. Теория множеств предоставляет способ говорить о коллекциях объектов. Это структура, в которой можно описывать всю математику, предоставляя строгие определения и солидную основу.

Теория множества Цермело-Френкеля используется для избежания парадоксов в классической теории множеств, таких как парадокс Рассела. Это достигается с помощью аксиом, которые являются утверждениями, допускаемыми как истины без доказательств. Теория определяет ограничения на создание множеств и способы их комбинирования, позволяя математикам работать в последовательной манере с бесконечными коллекциями.

Аксиомы теории множества Цермело-Френкеля

Теория множества Цермело-Френкеля включает ряд аксиом. Каждая аксиома является правилом, которое определяет, как себя ведут множества. Коллекция этих аксиом известна как система аксиом.

Аксиома экстенсиональности

Эта аксиома утверждает, что два множества равны, если они имеют одни и те же элементы. Проще говоря, идентичность множества определяется только его членами.

A = B если для всех x, x ∈ A тогда и только тогда, когда x ∈ B.

Например, рассмотрим множество:

A = {1, 2, 3}
B = {3, 1, 2}

В соответствии с принципом экстенсиональности, A и B — это одно и то же множество, потому что у них одни и те же элементы, хотя их порядок различен.

Аксиома пустого множества

Эта аксиома принимает существование множества без элементов, называемое пустым множеством. Оно обозначается {} или ∅.

∃A (∀x ¬(x ∈ A))

Пустое множество уникально, потому что включение в это множество — это условие, которое никогда не выполняется.

Принцип парности

Принцип парности позволяет нам сформировать новое множество, объединяя два множества.

Для любых множеств A и B существует множество C = {A, B}.

Пример:

Если A = 1 и B = 2, то C = {1, 2}.

Аксиома объединения

Эта аксиома утверждает, что для любого множества существует объединенное множество, которое содержит все элементы, которые являются членами хотя бы одного множества в коллекции.

Для любого множества A существует множество B: x ∈ B тогда и только тогда, когда существует множество C в A такое что x ∈ C.

Пример:

Пусть A = {{1, 2}, {2, 3}, {4}};
union(a) = {1, 2, 3, 4}

Аксиома множества мощности

Аксиома множества мощности утверждает, что для любого множества существует множество всех подмножеств первоначального множества.

Для любого множества A существует множество B: x ∈ B тогда и только тогда, когда x является подмножеством A.

Пример:

A = {1, 2}
Множество мощности A = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}

Аксиома бесконечности

Эта аксиома гарантирует существование бесконечных множеств. В частности, она включает множество, содержащее пустое множество, и свойство, что для любого множества x, которое является членом, множество {x} также является членом.

Существует множество A для которого:
∅ ∈ A и (x ∈ A подразумевает x ∪ {x} ∈ A)

Визуальное представление бесконечного множества:

Круг слева представляет пустое множество, и круг справа представляет бесконечное множество, которое показывает, что вы можете добавлять больше элементов.

Аксиома замены

Данная аксиома позволяет строить множество, заменяя каждый элемент первоначального множества другим множеством для любого множества и определенной операции.

Для множества A и любой определенной функции F существует множество B: для каждого x ∈ A существует y ∈ B такое что F(x) = y.

Пример:

Пусть A = {1, 2, 3} и F(x) = x + 1
B = {2, 3, 4}

Аксиома регулярности (также называемая базой)

Эта аксиома гарантирует, что каждое множество является хорошо основанным, означает, что ни одно множество не может содержать себя в качестве члена, прямо или косвенно. Это предотвращает бесконечные нисходящие цепи.

В каждом непустом множестве A существует a ∈ A такое что A и a не пересекаются.

Пример:

Для любого множества B = {{1, 2}, 3}, ни один элемент B не содержит все элементы B.

Аксиома выбора

Аксиома выбора утверждает, что для любого непустого множества существует функция выбора, которая выбирает точно один элемент из каждого множества.

Для любого множества X непустых множеств существует функция выбора f, определенная на X.

Аксиома выбора широко используется в областях математики, таких как алгебра и топология, хотя она более противоречива, чем другие аксиомы, потому что ведет к результатам, которые контринтуитивны.

Отношения и функции в ZF

В теории множеств отношение между множествами определяется как любое подмножество их декартова произведения. Функция является более специфическим типом отношения.

Если у нас есть множества A и B, тогда декартово произведение, обозначенное как A × B, это множество всех упорядоченных пар (a, b), где a ∈ A и b ∈ B.

A = {1, 2}, B = {x, y}
A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}

Функция f от множества A до множества B может быть представлена как подмножество A × B такое что для каждого элемента x в A существует ровно один элемент y в B, который удовлетворяет упорядоченной паре (x, y) ∈ f.

Пример функции:

A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}
Функция f : A → B
f(1) = 4, f(2) = 5, f(3) = 6

Функция f может быть представлена как множество упорядоченных пар:

F = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}

Таким образом, теория множеств позволяет нам понять сложные логические отношения и определять математические объекты сложным образом.

Цермело–Френкель и эквивалентность с математикой

Теория множества Цермело-Френкеля — это краеугольный камень, на котором базируется значительная часть современной математики. Определяя математические объекты как множества и характеризуя их отношения через аксиомы, ZF позволяет лучше понять как конечные, так и бесконечные процессы.

Вот важная вещь о ZF: хотя она кажется простой на первый взгляд, это очень мощный инструмент для математики. Когда мы добавляем аксиому выбора к ZF, мы получаем то, что известно как теория множества Цермело-Френкеля с аксиомой выбора, обозначаемая ZFC. Она часто считается основной основой для математики.

Потенциальные противоречия, избегаемые с помощью ZF

До ZF теория множества страдала от проблем, таких как парадокс Рассела, который возникал при рассмотрении само-содержащихся множеств.

R = { x | x ∉ x }

Если R является членом самого себя (R ∉ R), то по определению оно не должно быть в себе (R ∈ R), что противоречиво. Аксиомы, определенные в ZF, тщательно специфицируют, как множества могут быть построены и какие множества могут быть осмысленно рассмотрены.

Заключение

Теория множества Цермело-Френкеля предоставляет прочную основу для математики, предотвращая парадоксы и помогая организовать понимание бесконечности и других сложных тем. Хотя ZF способен описать всю стандартную математику, добавление аксиомы выбора (для создания ZFC) позволяет математикам получить доступ к гораздо более широкому диапазону математических инструментов и концепций, включая те, которые сталкиваются с неконструктивными доказательствами.

Придерживаясь тщательных и структурированных определений Цермело-Френкеля, она позволяет поддерживать консистентность математической логики. Это представляет собой великое торжество формальных теорий множеств: возможность предоставить математически строгую, естественно логичную основу для математического мышления, свободную от парадоксов, подходящую даже для сложных математических и философских начинаний.

комментарии