ツェルメロ-フレンケルの集合論

ツェルメロ-フレンケルの集合論は、しばしばZFと略され、集合論に基づく数学の基礎的な体系です。集合論は、物の集合について話す方法を提供します。それは、すべての数学を記述し、厳密な定義と堅固な基礎を提供するフレームワークです。

ツェルメロ-フレンケルの集合論は、ラッセルの逆理のような古典的な集合論における逆理を回避するために使用されます。これが証明なしに真であると仮定される公理を使用して達成されます。この理論は、どの集合を作成できるか、及びそれらがどのように組み合わせられるかの制限を定義し、無限の集合に一貫して取り組むことを可能にします。

ツェルメロ-フレンケル集合論の公理

ツェルメロ-フレンケルの集合論は、多くの公理を含んでいます。各公理は、集合がどのように振る舞うかを定義する規則です。これらの公理の集合は、公理系として知られています。

拡張性の公理

この公理は、同じ要素を持つ場合、2つの集合は等しいと述べています。簡単に言うと、集合の同一性はそのメンバーのみで決定されます。

すべてのxに対して、x ∈ A が x ∈ B と同値である場合、A = B.

例えば、次の集合を考えてみましょう：

A = {1, 2, 3}
B = {3, 1, 2}

拡張性の原理によれば、AとBは同じ集合です。なぜなら、それらは順序は異なりますが同じ要素を持っているからです。

空集合の公理

この公理は、要素を持たない集合、空集合の存在を認めています。これは {} または ∅ で表されます。

∃A (∀x ¬(x ∈ A))

空集合は、この集合への含有が常に偽であるという条件のためにユニークです。

ペアリングの原理

ペアリングの原理によって、2つの集合を組み合わせて新しい集合を形成できます。

任意の集合AとBに対して、セットC = {A, B}が存在します。

例：

もしA = 1, B = 2であれば、C = {1, 2}.

結合の公理

この公理は、ある集合に対して、そのコレクションの中の少なくとも1つの集合のメンバーであるすべての要素を含むユニオンセットが存在することを主張します。

任意の集合Aに対して、セットBが存在します: x ∈ B はxがAの中のある集合Cに属することを意味します。

例：

A = {{1, 2}, {2, 3}, {4}};
union(a) = {1, 2, 3, 4}

冪集合の公理

冪集合の公理は、任意の集合に対して、元の集合のすべての部分集合の集合が存在することを述べています。

任意の集合Aに対して、セットBが存在します: x ∈ B はxがAの部分集合であることを意味します。

例：

A = {1, 2}
Aの冪集合 = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}

無限の公理

この公理は、無限の集合の存在を保証します。特に、空集合を含み、それがメンバーであるすべてのセットxに対して、セット{x}もメンバーである特性を備えたセットを含みます。

あるセットAが存在します： 
∅ ∈ A かつ (x ∈ A は x ∪ {x} ∈ A を意味します)

無限集合の視覚的表現:

左の円は空集合を表し、右の円は無限集合を表し、より多くの要素を追加し続けることができることを示しています。

置換の公理

任意の集合および定義された操作に対して、この公理により、元の集合の各要素を別のセットに置き換えてセットを構築できます。

任意のセットAおよび定義された関数Fに対して、セットBが存在します: Aの各xに対して、F(x) = y となるBのyが存在します。

例：

A = {1, 2, 3} および F(x) = x + 1
B = {2, 3, 4}

正則性の公理（基底とも呼ばれる）

この公理は、すべてのセットが良く基礎づけられていることを保証し、無限の下降順が存在しないことを保ちます。この公理によって、直接または間接に自分自身をメンバーとして含むセットは存在できません。

すべての空でない集合Aに対して、Aに含まれるあるaに対してAとaが互いに素であること。

例：

任意の集合Bに対して：B = {{1, 2}, 3}、Bの要素のうちの任意の要素はBの全要素を含んでいません。

選択公理

選択公理は、任意の非空の集合に対して、各集合から正確に1つの要素を選択する選択関数が存在することを述べています。

任意の非空集合Xに対して、Xに定義された選択関数fが存在します。

選択公理は代数学や位相幾何学の分野で広く使用されますが、交感的でない結果をもたらすため他の公理よりも論争を引き起こします。

ZFにおける関係と関数

集合論において、関係は、そのカルテジアン積の任意の部分集合として定義されます。関数は、より具体的な関係の1つです。

集合Aと集合Bがある場合、カルテジアン積（A × Bと表される）は、すべての順序組(a, b)の集合です：a ∈ A と b ∈ B のとき。

A = {1, 2}, B = {x, y}
A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}

集合Aから集合Bへの関数 f は、A内のすべての要素xに対して、Bの要素yが存在し、(x, y) ∈ f を満たすものとして考えられます。

関数の例：

A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6}
f : A → B
f(1) = 4, f(2) = 5, f(3) = 6

関数fは順序対のセットとして表されます：

F = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}

このようにして集合論は、複雑な論理関係を理解し、数学的物体を洗練された方法で定義することを可能にします。

ツェルメロ-フレンケルと数学との等価性

ツェルメロ-フレンケルの集合論は、現代数学の基盤です。数学的物体を集合として定義し、公理によってその関係を特徴づけることにより、ZFは有限と無限のプロセスの両方をより良く理解できます。

ZFには重要な点があります：一見簡単であるように見えるが、数学にとって非常に強力なツールです。ZFに選択公理を追加すると、選択公理を伴うツェルメロ-フレンケル集合論、すなわちZFCとなります。これはしばしば数学のデフォルトの基盤と考えられています。

ZFによって回避される潜在的な矛盾

ZF以前は、ラッセルの逆理のように、自身を含む集合を考慮する際に、集合論に問題がありました。

R = { x | x ∉ x }

Rが自分自身のメンバーである場合（R ∈ R）、定義上、自己には存在しない（R ∉ R）必要があります。これは矛盾しています。ZFで定義された公理は、どのように集合を構築し、どの集合を意味のあるものと見なせるかを特定するため、慎重に判断されています。

結論

ツェルメロ-フレンケルの集合論は、逆理を防ぎ、無限や他の複雑なテーマの理解を助ける強力な数学の基礎を提供します。ZFは標準的な数学を説明することができる一方で、選択公理を追加して（ZFCを作成する）ことで、非構成的な証明に直面する概念を含む、より広範囲な数学的ツールや概念にアクセスできます。

ツェルメロ-フレンケルの注意深く構造化された定義に従うことによって、数学的論理の一貫性を維持することができます。これは、逆理のない、複雑な数学的および哲学的追求にも適した、形式的な集合論の大きな勝利を表しています。

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