集合論と論理における基数の理解

基数は集合論、すなわちオブジェクトの集合の研究に関与する数学の一分野における基本的な概念です。また、集合のサイズを理解することが論理的議論の構築に影響を与えるため、論理でも重要です。基数の概念は、異なる集合のサイズを比較することを数学者に可能にします。それがたとえ無限集合であっても。この探求は、基数が何を意味するか、それがどのように使用されるか、そしてその理解を強化するためのいくつかの例について詳しく説明します。

基数とは何ですか？

基数は集合内の要素の数を指します。有限集合では、それは単に異なる要素の数です。例えば、集合{a, b, c}の基数は3であり、3つの要素があります。しかし、無限集合を扱う際には、基数の概念はより抽象的で興味深いものになります。

正式には、集合Aの基数は|A|と表記されます。2つの集合の間に1対1の対応（または全単射）がある場合、それらは同じ基数を持つと言われます。

有限集合の基数

いくつかの単純な有限集合の例から始めましょう:

• 集合A = {1, 2, 3}は3つの要素があるため|A| = 3の基数を持ちます。
• 集合B = {apple, banana}は2つの要素があるため|B| = 2の基数を持ちます。

有限集合を比較するとき、要素数が同じであれば2つの集合は同じ基数を持つと言えます。例えば、C = {x, y, z}なら|C| = 3であり、集合AとCは同じ基数を持つことが分かります。

有限集合の基数の視覚化

ここで、それぞれの楕円{1, 2, 3}が集合内の要素を表し、3つの異なる楕円があることが分かり、集合の基数の視覚的なバージョンを提供しています。

無限集合とその基数

無限集合は全く別のゲームです。無限集合の例には、次のものがあります:

• 自然数の集合N = {1, 2, 3, ...}
• 偶数の集合E = {2, 4, 6, ...}
• すべての整数の集合Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

無限集合の場合、基数は単に要素を数えることによって決定されるのではなく、1対1対応という方法を使用します。

1対1の対応

2つの集合は、それらの間に全単射がある場合に同じ基数を持ちます。すなわち、一方の集合のすべての要素が他方の集合のちょうど1つの要素と対になっており、その逆もまた然りです。

例えば、自然数N = {1, 2, 3, ...}と偶数E = {2, 4, 6, ...}を考えてみましょう。一見すると、一方は他方の部分集合であるため、これらの集合は異なるサイズを持っているように見えます。しかし、これらの集合の間には1対1の対応を作り出すことができます:

    f(n) = 2n

この関数は、自然数nを偶数f(n)に関連付け、この2つの無限集合が同じ基数を持つことを示しています。

無限基数の種類

集合論には様々な種類の無限が存在します。自然数の集合の基数は、ヘブライ文字のアレフヌルℵ₀（アレフヌル）で表され、それが無限の最小の種類であることを示しています。

無限集合の視覚的表現

ここでは、それぞれの行が自然数とそれに対応する偶数を表し、自然数の集合の基数が偶数の集合の基数と同じであることを示しています。

無限集合の比較

無限集合の基数を比較するという概念は、数学の最も深遠な発見につながりました。

有理数を考えると、それは集合Qで表されます。それらはもう一つのパラドックスを形成します。集合の基数をどのようにして自然数と比較できるでしょうか？

任意の2つの整数の間に有理数がぎっしり詰まっているにもかかわらず、有理数の集合は可算であり、その基数は自然数の集合と同じであることが示されます。この議論は、有理数を配列に並べ、対角線を歩くという方法を含んでいます。

有理数に対する対角線論法

まず、分数( a/b )がおかれているとき、有理数を想像します：

    1/1, 1/2, 1/3, ...
    2/1, 2/2, 2/3, ...
    3/1, 3/2, 3/3, ...

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