Отношения и функции

В бакалаврских курсах по математике теория множеств и логика формируют основу для понимания различных математических концепций, включая отношения и функции, которые имеют решающее значение для понимания сложных структур и операций. Этот документ предлагает исчерпывающее руководство по этим концепциям с множеством примеров.

Введение в множества

Множество — это хорошо определенная коллекция отличных объектов. Эти объекты называются элементами или членами множества. Множество может содержать числа, буквы, символы или даже другие множества. Например:

A = {1, 2, 3, 4}

Здесь A — это множество, содержащее элементы 1, 2, 3 и 4. Порядок элементов не имеет значения, и множества не содержат дублирующих элементов.

Множества записываются с фигурными скобками. Если множество пусто, оно называется пустым множеством и обозначается как {} или ∅.

Отношение

Отношение — это ассоциация между элементами двух множеств. Оно обычно представляется как подмножество декартова произведения этих множеств. Если существуют два множества, A и B, то декартово произведение A × B — это множество всех возможных упорядоченных пар (a, b), где a ∈ A и b ∈ B.

Например, рассмотрим следующие множества:

A = {1, 2, 3} B = {4, 5}

Декартово произведение A × B:

A × B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

Отношение R от множества A до множества B — это подмножество A × B. Например, давайте определим отношение R так, что элемент множества A связан с элементом множества B, если сумма двух элементов больше 5:

R = {(1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

Визуально мы можем представить отношения, используя тип графа, называемый ориентированным графом или диаграммой стрел.

Свойства отношений

Отношения могут иметь определенные особые свойства, такие как рефлексивность, симметрия, транзитивность и т. д., особенно когда отношение определено на множестве вместе с самим собой (отношение от A к A).

• Рефлексивное: Отношение R на множестве A является рефлексивным, если каждый элемент принадлежит самому себе. Формально, (a, a) ∈ R для всех a ∈ A
• Симметричное: Отношение R на множестве A является симметричным, если (a, b) ∈ R подразумевает, что (b, a) ∈ R для всех a, b ∈ A
• Транзитивное: Отношение R на множестве A является транзитивным, если, когда (a, b) ∈ R и (b, c) ∈ R, тогда (a, c) ∈ R.

Работа

Функция — это конкретный тип отношений между двумя множествами A и B, где каждый элемент множества A связан исключительно с одним элементом множества B. Функции могут быть представлены с помощью выражений, графиков и упорядоченных пар.

Символически, функция f от множества A к множеству B записывается как f: A → B Мы говорим, что f(x) является образом x под функцией f.

f: A → B f(x) = x^2 A = {1, 2, 3} B = {1, 4, 9}

В вышеприведенном примере мы видим, что каждый элемент множества A отображается в элемент множества B, а именно, в его квадрат.

Типы задач

• Инъективная (один-к-одному) функция: Функция инъективна, если различные элементы в области определения соответствуют различным элементам в кодомине. Формально, f(a) = f(b) подразумевает a = b.
• Сюръективная (сюрьективная) функция: Функция является сюрьективной, если каждый элемент кодомена является образом хотя бы одного элемента области определения.
• Бийективная: Функция является бийективной, если она является одновременно инъективной и сюрьективной, что означает, что она устанавливает идеальную "пару" между областью определения и кодоменом.

Формальные определения и примеры

Формальное определение обеспечивает строгость и основу, на которой могут быть оценены реальные приложения.

Пример инъективности (один-к-одному)

Рассмотрим функцию f: R → R, определенную как f(x) = 2x + 3. Докажем, что эта функция инъективна.

Предположим, f(x1) = f(x2). Тогда 2x1 + 3 = 2x2 + 3. Вычтем 3 из обеих сторон, 2x1 = 2x2. Разделив на 2, получаем x1 = x2.

Так как мы доказали x1 = x2, функция инъективна.

Пример сюръективности (на)

Рассмотрим функцию f: R → R, определенную как f(x) = x^3. Нам нужно показать, что функция всесюжективна.

Пусть y — это действительное число, такое что y = x^3. Тогда x = y^(1/3) удовлетворяет этому.

Таким образом, для любого y в кодомене существует x в области определения, такой что f(x) = y. Это делает функцию всесюжективной.

Пример разветвления

Рассмотрим функцию f: R → R, определенную как f(x) = x^2. Определим, является ли она двунаправленной.

f(x1) = f(x2) подразумевает, что x1^2 = x2^2, следовательно, x1 = x2 или x1 = -x2. Не один-к-одному (ложная инъективность). Область значений f(x) = x^2 — это только неотрицательные действительные числа. Поэтому она не на (ложная сюръективность).

Таким образом, f(x) = x^2 не является двунаправленной.

Важные концепции в работах

• Область определения: Множество всех входных значений (элементов из множества A), для которых функция определена.
• Кодомен: множество всех возможных значений выхода (не все могут быть отображены из области определения функцией).
• Область значений: Множество всех фактических выходных значений, сгенерированных функцией из входных значений в области определения.

Композиция и обратные функции

Композиция функций: Комбинация двух функций, где выход одной функции становится входом для другой функции. Если две функции f: A → B и g: B → C, тогда композиция (g ∘ f): A → C определяется как (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Обратная функция: Если f: A → B является биекцией, то его обратная f -1 : B → A обращает отображение и удерживает f(f -1 (x)) = x для всех x ∈ B, и f -1 (f(y)) = y для всех y ∈ A

Рассмотрим пример функции:

Пусть f(x) = 2x - 3 и g(x) = x + 3/2. Результат (g ∘ f)(x) = g(f(x)). f(f -1 (x)) должен отображаться обратно в оригинальное значение.

С приведенными выше объяснениями и примерами мы попытались охватить суть отношений и функций в контексте теории множеств и математической логики. Понимание этих концепций формирует основу для более продвинутых математических тем, моделей и реальных приложений.

комментарии