Relações e funções

Na matemática de graduação, a teoria dos conjuntos e a lógica formam a base para compreender vários conceitos matemáticos, incluindo relações e funções, que são cruciais para entender estruturas e operações complexas. Este documento fornece um guia abrangente para esses conceitos com muitos exemplos.

Introdução aos conjuntos

Um conjunto é uma coleção bem definida de objetos distintos. Esses objetos são chamados de elementos ou membros do conjunto. Um conjunto pode conter números, letras, símbolos ou até mesmo outros conjuntos. Por exemplo:

A = {1, 2, 3, 4}

Aqui, A é um conjunto que contém os elementos 1, 2, 3 e 4. A ordem dos elementos não importa, e conjuntos não contêm elementos duplicados.

Conjuntos são escritos com chaves. Se o conjunto estiver vazio, ele é chamado de conjunto vazio, e é representado por {} ou ∅.

Relação

Uma relação é uma associação entre os elementos de dois conjuntos. Geralmente é representada como um subconjunto do produto cartesiano desses conjuntos. Se houverem dois conjuntos, A e B, então o produto cartesiano A × B é o conjunto de todos os pares ordenados possíveis (a, b), onde a ∈ A e b ∈ B.

Por exemplo, considere os seguintes conjuntos:

A = {1, 2, 3} B = {4, 5}

O produto cartesiano A × B é:

A × B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

Uma relação R de um conjunto A a um conjunto B é um subconjunto de A × B. Por exemplo, vamos definir uma relação R tal que um elemento de A está relacionado a um elemento de B se a soma dos dois elementos for maior que 5:

R = {(1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

Visualmente, podemos representar relações usando um tipo de gráfico chamado de grafo orientado ou diagrama de setas.

Propriedades das relações

As relações podem ter certas propriedades especiais, como reflexividade, simetria, transitividade, etc., especialmente quando a relação é definida em um conjunto junto com ele mesmo (uma relação de A a A).

• Reflexiva: Uma relação R em um conjunto A é reflexiva se todo elemento pertence a si mesmo. Formalmente, (a, a) ∈ R para todo a ∈ A
• Simétrica: Uma relação R em um conjunto A é simétrica se (a, b) ∈ R implica que (b, a) ∈ R para todo a, b ∈ A
• Transitiva: Uma relação R em um conjunto A é transitiva se, sempre que (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R, então (a, c) ∈ R.

Função

Uma função é um tipo específico de relação entre dois conjuntos A e B, onde cada elemento do conjunto A está relacionado a exatamente um elemento do conjunto B. As funções podem ser representadas usando expressões, gráficos e pares ordenados.

Simbolicamente, uma função f de um conjunto A a um conjunto B é representada como f: A → B. Dizemos que f(x) é a imagem de x sob f.

f: A → B f(x) = x^2 A = {1, 2, 3} B = {1, 4, 9}

No exemplo acima, vemos que cada elemento de A é mapeado para um elemento de B, especificamente seu quadrado.

Tipos de funções

• Função injetora (injetiva): Uma função é injetiva se elementos distintos no domínio correspondem a elementos distintos no contradomínio. Formalmente, f(a) = f(b) implica a = b.
• Função sobrejetora (sobresuntiva): Uma função é sobresuntiva se todo elemento do contradomínio é a imagem de pelo menos um elemento do domínio.
• Bijetiva: Uma função é bijetiva se é tanto injetiva quanto sobrejetiva, significando que estabelece um "pareamento" perfeito entre o domínio e o contradomínio.

Definições formais e exemplos

Uma definição formal fornece o rigor e a base sobre a qual podem ser avaliadas as aplicações do mundo real.

Exemplo de função injetora

Considere a função f: R → R definida por f(x) = 2x + 3. Vamos provar que esta função é injetiva.

Suponha que f(x1) = f(x2). Então, 2x1 + 3 = 2x2 + 3. Subtraia 3 de ambos os lados, 2x1 = 2x2. Divida por 2, x1 = x2.

Como provamos que x1 = x2, a função é injetiva.

Exemplo de função sobrejetora

Considere a função f: R → R definida por f(x) = x^3. Precisamos mostrar que a função é sobrejetora.

Deixe y ser um número real tal que y = x^3. Então, x = y^(1/3) satisfaz isso.

Assim, para qualquer y no contradomínio, existe um x no domínio tal que f(x) = y. Isso faz com que a função seja sobrejetora.

Exemplo de função bijetora

Considere a função f: R → R definida por f(x) = x^2. Vamos determinar se é bijetiva.

f(x1) = f(x2), implica x1^2 = x2^2, assim x1 = x2 ou x1 = -x2. Não é injetora (injetividade é falsa). O alcance de f(x) = x^2 é apenas números reais não negativos. Portanto, não é sobrejetora (sobrejetividade é falsa).

Portanto, f(x) = x^2 não é uma função bijetiva.

Conceitos importantes em funções

• Domínio: O conjunto de todos os valores de entrada (elementos do conjunto A) para os quais a função está definida.
• Contradomínio: O conjunto de todos os possíveis valores de saída (nem todos podem ser mapeados do domínio pela função).
• Alcance: O conjunto de todos os valores reais de saída gerados pela função a partir dos valores de entrada no domínio.

Composição de funções e inversas

Composição de funções: A combinação de duas funções onde a saída de uma função se torna a entrada da outra função. Se duas funções f: A → B e g: B → C, então a composição (g ∘ f): A → C é definida por (g ∘ f)(x) = g(f(x)).

Função inversa: Se f: A → B é uma bijeção, então sua inversa f -1 : B → A reverte o mapeamento e mantém f(f -1 (x)) = x para todo x ∈ B, e f -1 (f(y)) = y para todo y ∈ A

Considere a função exemplo:

Deixe f(x) = 2x - 3 e g(x) = x + 3/2. Resultado de (g ∘ f)(x) = g(f(x)). f(f -1 (x)) deve mapear de volta ao valor original.

Com as explicações e exemplos acima, tentamos cobrir a essência das relações e funções no contexto da teoria dos conjuntos e da lógica matemática. Compreender esses conceitos forma a base para tópicos matemáticos mais avançados, modelos e aplicações do mundo real.

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