関係と関数

学部の数学では、集合論と論理が様々な数学的概念を理解する基礎を形成し、関係と関数を含む複雑な構造や操作を理解するために重要です。この文書は、これらの概念についての包括的なガイドを多くの例と共に提供します。

集合の紹介

集合とは、異なる対象の明確に定義された集まりです。これらの対象は、集合の要素またはメンバーと呼ばれます。集合には、数値、文字、記号、または他の集合さえ含むことができます。例えば：

A = {1, 2, 3, 4}

ここで、Aは1, 2, 3, および4を要素として含む集合です。要素の順序は重要ではなく、集合には重複した要素は含まれません。

集合は波括弧で書かれます。もし集合が空であれば、それは空集合と呼ばれ、{}または∅で表されます。

関係

関係とは、2つの集合の要素間の関連をいいます。それは通常、これらの集合のデカルト積の部分集合として表されます。もし2つの集合AとBがある場合、デカルト積A × Bは、a ∈ Aかつb ∈ Bであるすべての順序付けられたペア(a, b)の集合です。

例えば、次の集合を考えてみましょう：

A = {1, 2, 3} B = {4, 5}

デカルト積A × Bは：

A × B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

集合Aから集合Bへの関係RはA × Bの部分集合です。例えば、Aの要素がBの要素と関連するときに、その和が5より大きくなる関係Rを定義しましょう：

R = {(1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

視覚的に、関係は有向グラフまたは矢印図と呼ばれるグラフの一種を用いて表すことができます。

関係の特性

関係は、特に集合上で自身と一緒に定義されるとき、反射性、対称性、推移性などの特別な性質を持つことがあります（集合Aから集合Aへの関係）。

• 反射的: 集合Aの上の関係Rは反射的である場合、すべての要素はそれ自身に属します。形式的には、すべてのa ∈ Aに対して(a, a) ∈ R
• 対称的: 集合Aの上の関係Rは対称的である場合、(a, b) ∈ Rは任意のa, b ∈ Aに対して(b, a) ∈ Rを意味します。
• 推移的: 集合Aの上の関係Rは推移的である場合、(a, b) ∈ Rおよび(b, c) ∈ Rであるときには、(a, c) ∈ Rとなります。

関数

関数は2つの集合AとBの間の特定の種類の関係で、集合Aの各要素が集合Bのちょうど1つの要素と関連付けられています。関数は、式、グラフ、順序付けられたペアを使用して表現することができます。

記号的に、集合Aから集合Bへの関数fはf: A → Bと表され、f(x)はfの下でのxの像です。

f: A → B f(x) = x^2 A = {1, 2, 3} B = {1, 4, 9}

上記の例では、Aの各要素がBの要素、具体的にはその平方に写像されていることがわかります。

関数の種類

• 一対一（単射）関数: 関数が単射であるのは、領域内の異なる要素が範囲内の異なる要素に対応する場合です。形式的には、f(a) = f(b)はa = bを意味します。
• 上への（全射）関数: 関数が全射であるのは、余域のすべての要素が領域内の少なくとも1つの要素の像である場合です。
• 全単射: 関数が全単射であるのは、それが単射でもあり全射でもある場合で、領域と余域との間で完璧な「ペアリング」を確立することを意味します。

形式的な定義と例

形式的な定義は、実世界の応用が評価される基礎と厳密さを提供します。

一対一（単射）の例

関数f: R → Rをf(x) = 2x + 3と定義しましょう。この関数が単射であることを証明します。

f(x1) = f(x2)を仮定します。次に、2x1 + 3 = 2x2 + 3。両辺から3を引いて、2x1 = 2x2。2で割ります。x1 = x2。

私たちはx1 = x2を証明したので、関数は単射です。

上への（全射）例

関数f: R → Rをf(x) = x^3と定義しましょう。この関数が全射であることを示します。

yを実数として、y = x^3とします。次に、x = y^(1/3)がこれを満たします。

したがって、余域の任意のyに対して、領域内のf(x) = yを満たすxが存在します。これにより、関数は全射です。

双射の例

関数f: R → Rをf(x) = x^2と定義しましょう。それが全射であるかどうかを判断します。

f(x1) = f(x2)、すなわちx1^2 = x2^2、したがってx1 = x2またはx1 = -x2。単射ではない（単射は偽）。f(x) = x^2の範囲は非負の実数のみです。したがって全射でもない（全射は偽）。

従って、f(x) = x^2は双射ではありません。

関数における重要な概念

• 定義域: 関数が定義されるすべての入力値（集合Aの要素）の集合。
• 余域: すべての可能な出力値の集合（すべてが定義域から関数によって写像されるわけではありません）。
• 値域: 関数が定義域内の入力値から生成するすべての実際の出力値の集合。

関数の合成と逆関数

関数の合成: 1つの関数の出力が他の関数の入力となる2つの関数の組み合わせ。2つの関数f: A → B およびg: B → Cがある場合、合成(g ∘ f): A → Cは(g ∘ f)(x) = g(f(x))として定義されます。

逆関数: もしf: A → Bが双射である場合、その逆f-1: B → Aは写像を逆にし、f(f-1(x)) = xをすべてのx ∈ Bについて保持し、f-1(f(y)) = y