संबंध और फलन

स्नातक गणित में, समुच्चय सिद्धांत और तर्कशास्त्र विभिन्न गणितीय अवधारणाओं को समझने के लिए आधार बनते हैं, जिनमें संबंध और फलन शामिल हैं, जो जटिल संरचनाओं और संचालन को समझने के लिए महत्वपूर्ण हैं। यह दस्तावेज़ इन अवधारणाओं का एक व्यापक गाइड प्रदान करता है जिसमें कई उदाहरण शामिल हैं।

समुच्चय की परिचय

समुच्चय एक अच्छी तरह से परिभाषित विभिन्न वस्तुओं का संग्रह है। इन वस्तुओं को तत्व या सदस्य कहा जाता है। एक समुच्चय में संख्याएं, अक्षर, प्रतीक या यहां तक कि अन्य समुच्चय हो सकते हैं। उदाहरण के लिए:

A = {1, 2, 3, 4}

यहाँ, A एक समुच्चय है जिसमें तत्व 1, 2, 3, और 4 शामिल हैं। तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है, और समुच्चय में कोई डुप्लिकेट तत्व नहीं होते।

समुच्चय को घुंघराले कोष्ठक के साथ लिखा जाता है। यदि समुच्चय खाली है, तो इसे रिक्त समुच्चय कहा जाता है, और इसे {} या ∅ द्वारा दर्शाया जाता है।

संबंध

संबंध दो समुच्चयों के तत्वों के बीच एक संबंध है। यह आमतौर पर इन समुच्चयों के कार्टेशियन गुणन के उपसमुच्चय के रूप में दर्शाया जाता है। यदि दो समुच्चय हैं, A और B, तो कार्टेशियन गुणन A × B सभी संभावित व्यवस्थित युग्मों (a, b) का समुच्चय होता है, जहां a ∈ A और b ∈ B।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समुच्चयों पर विचार करें:

A = {1, 2, 3} B = {4, 5}

कार्टेशियन गुणन A × B है:

A × B = {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

A से B तक का संबंध R, A × B का उपसमुच्चय है। उदाहरण के लिए, एक संबंध R को परिभाषित करें ताकि A का तत्व B के तत्व से संबंधित हो यदि दोनों तत्वों का योग 5 से अधिक हो:

R = {(1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}

दृष्टिगत रूप से, हम संबंधों को निर्देशित ग्राफ़ या तीर आरेख नामक ग्राफ़ के एक प्रकार का उपयोग करके प्रस्तुत कर सकते हैं।

संबंधों के गुण

संबंधों में कुछ विशेष गुण हो सकते हैं जैसे कि परावर्तन, सममिति, संक्रांति, आदि, विशेष रूप से जब संबंध एक समुच्चय पर स्वयं के साथ परिभाषित होता है (A से A तक संबंध)।

• परावर्तक: एक संबंध R किसी समुच्चय A पर तब परावर्तक होता है जब प्रत्येक तत्व स्वयं से संबंधित होता है। औपचारिक रूप से, (a, a) ∈ R सभी a ∈ A के लिए
• सममित: एक संबंध R किसी समुच्चय A पर सममित होता है जब (a, b) ∈ R का अर्थ है कि (b, a) ∈ R सभी a, b ∈ A के लिए
• संक्रांतिक: एक संबंध R किसी समुच्चय A पर संक्रांतिक होता है यदि जब भी (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R, तो (a, c) ∈ R होता है।

कार्य

फलन दो समुच्चयों A और B के बीच एक विशिष्ट प्रकार का संबंध होता है, जहां समुच्चय A का प्रत्येक तत्व समुच्चय B के एक अद्वितीय तत्व के साथ संबंधित होता है। फलनों को अभिव्यक्तियों, ग्राफ़, और व्यवस्थित युग्मों का उपयोग करके प्रस्तुत किया जा सकता है।

प्रतीकात्मक रूप से, एक फलन f किसी समुच्चय A से किसी समुच्चय B तक इस प्रकार प्रदर्शित होती है: f: A → B हम कहते हैं कि f(x) f के अधीन x की छवि होती है।

f: A → B f(x) = x^2 A = {1, 2, 3} B = {1, 4, 9}

ऊपर दिए गए उदाहरण में, हम देखते हैं कि A का प्रत्येक तत्व B के एक तत्व से जुड़ा है, विशेष रूप से उसके वर्ग को।

कार्य के प्रकार

• एक-से-एक (उद्भव) फलन: एक फलन उद्भव (इंजेक्टिव) होता है यदि डोमेन के विभिन्न तत्व रेंज के विभिन्न तत्वों के अनुरूप होते हैं। औपचारिक रूप से, f(a) = f(b) का अर्थ है a = b।
• आंतरिक (सर्वव्यापक) फलन: एक फलन सर्वव्यापक होता है यदि कोडोमेन का प्रत्येक तत्व डोमेन के कम से कम एक तत्व की छवि होता है।
• उभयमंडल: एक फलन उभयमंडल होता है यदि यह दोनों उद्भव और सर्वव्यापक होता है, अर्थात यह डोमेन और कोडोमेन के बीच एक सही "जोड़ी" बनाता है।

औपचारिक परिभाषाएँ और उदाहरण

एक औपचारिक परिभाषा वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों को आकलित करने के लिए सख्ती और आधार प्रदान करती है।

एक-से-एक (उद्भव) उदाहरण

उस फलन पर विचार करें f: R → R जो f(x) = 2x + 3 द्वारा परिभाषित है। चलिए प्रमाणित करते हैं कि यह फलन उद्भव है।

मान लें कि f(x1) = f(x2)। फिर, 2x1 + 3 = 2x2 + 3। दोनों पक्षों में से 3 घटाएं, 2x1 = 2x2। 2 से भाग करें, x1 = x2।

क्योंकि हमने x1 = x2 प्रमाणित किया है, फलन उद्भव है।

आंतरिक (सर्वव्यापक) उदाहरण

उस फलन पर विचार करें f: R → R जो f(x) = x^3 द्वारा परिभाषित है। हमें दिखाना है कि फलन सर्वव्यापक है।

मान लें y एक वास्तविक संख्या है जिसे y = x^3 संतुष्ट किया जाता है। फिर, x = y^(1/3) इसे संतुष्ट करता है।

इस प्रकार, कोडोमेन में किसी भी y के लिए, डोमेन में एक x मौजूद है ताकि f(x) = y हो। यह फलन सर्वव्यापक बनाता है।

उभयमंडल उदाहरण

उस फलन पर विचार करें f: R → R जो f(x) = x^2 द्वारा परिभाषित है। चलिए यह जांचते हैं कि यह उभयमंडल है या नहीं।

f(x1) = f(x2), का अर्थ है x1^2 = x2^2, इस प्रकार x1 = x2 या x1 = -x2। न तो एक-से-एक (उद्भव झूठा है)। f(x) = x^2 की रेंज केवल गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएं है। अतः यह आंतरिक (सर्वव्यापक झूठा है)।

इसलिए, f(x) = x^2 एक उभयाकार नहीं है।

कार्य में महत्वपूर्ण अवधारणाएँ

• डोमेन: सभी इनपुट मानों का समुच्चय (समुच्चय A के तत्व) जिसके लिए फलन परिभाषित है।
• कोडोमेन: सभी संभव आउटपुट मानों का समुच्चय (समुच्चय A द्वारा मैपिंग किए जा सकते हैं।
• रेंज: इनपुट मानों से फलन द्वारा उत्पन्न सभी वास्तविक आउटपुट मानों का समुच्चय।

फलन की संयोजन और इनवर्स

फलन की संयोजन: दो फलनों का संयोजन जहां एक फलन का आउटपुट दूसरी फलन के इनपुट बन जाता है। यदि दो फलन f: A → B और g: B → C, तो संयोजन (g ∘ f): A → C (g ∘ f)(x) = g(f(x)) द्वारा परिभाषित है।

इनवर्स फलन: यदि f: A → B एक बाईजिक्शन है, तो उसका इनवर्स f -1 : B → A मैपिंग को उलट देता है और इसके लिए f(f -1 (x)) = x सभी x ∈ B के लिए, और f -1 (f(y)) = y सभी y ∈ A के लिए।

उदाहरण फलन पर विचार करें:

मान लें f(x) = 2x - 3 और g(x) = x + 3/2। (g ∘ f)(x) = g(f(x)) का परिणाम। f(f -1 (x)) को मूल मान पर मैपिंग करनी चाहिए।

उपरोक्त स्पष्टीकरण और उदाहरणों के माध्यम से, हमने सेट थ्योरी और गणितीय तर्क के संदर्भ में संबंधों और फलनों के सार को कवर करने का प्रयास किया है। इन अवधारणाओं को समझना अधिक उन्नत गणितीय विषयों, मॉडलों और वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों के आधार बनाता है।

टिप्पणियाँ