集合と部分集合

集合論と論理学における集合と部分集合の世界に入る前に、集合とは何かを理解するための基礎を築きましょう。数学では、集合は単に異なる対象の集まりであり、1つの単位として扱われます。これらの対象は何でもよく、数や記号、他の集合さえも含むことができます。集合を定義する主な性質は「明確に定義されるべきである」ということです。これは、集合が何を含んでいるかをはっきりと定義できるべきであるということを意味します。たとえば、私たちの太陽系の惑星の集まりは集合を形成します。

集合の基本的な記法と用語

集合を表すときは、一般に波括弧{ }を使用します。集合内の要素は、波括弧内に列挙され、「要素」や「メンバー」として知られています。たとえば、数1, 2, 3を含む集合Aがある場合、それは次のように表されます。

A = {1, 2, 3}

集合は波括弧内で記述的な言語を使って定義することもできます。もし集合Bが10未満のすべての偶数を含んでいる場合は、次のように書きます:

B = {2, 4, 6, 8}

あるいは、集合のメンバーが満たすべき性質を指定することで略記することもできます。例えば:

C = {x | x は10未満の偶数}

垂直バー|は「〜であるような」という意味です。簡単な例で集合を説明しましょう:

この視覚的な例では、円はAという集合を表しており、1, 2, 3という要素を含んでいます。

部分集合の定義

部分集合は、集合の一部であり、その一部またはすべての要素を含むものです。すべての要素が集合Aにあり、それが集合Bにも存在している場合、AはBの部分集合です。これは次のように表されます:

A ⊆ B

AがBの部分集合であるが、AがBと等しくない（つまり、BにはAにない要素が含まれている）場合、Aは真部分集合です:

A ⊂ B

この概念をより具体的な例で説明しましょう:

仮に集合X = {a, b, c}と集合Y = {a, b, c, d, e}があるとします。集合Xのすべての要素が集合Yにもあることが明らかですしたがって、XはYの部分集合であり、次のように書かれます:

X ⊆ Y

しかし、集合Xには集合Yのすべての要素が含まれていない（特に「d」と「e」が欠けている）ため、Xは真部分集合です:

X ⊂ Y

小グループをイメージしましょう:

この図では、小さい円がXを表し、それが大きな円で表されるY内に完全にあることを示しています。この視覚化は再びXがYの部分集合であることを示しています。

種類の集合

さまざまなタイプの集合を理解することは、今後の議論のための舞台を整えるために重要です。ここに遭遇するかもしれないタイプがあります:

空集合: 要素がないため、ヌル集合としても知られています。それは∅または{}で表されます。空集合はすべての集合の部分集合です。
シングルトン集合: 1つだけの要素を持つ集合、例：{a}。
有限集合: 限られた数の要素を持つ集合、例えば{1, 2, 3}。
無限集合: 無限の数の要素を持つ集合、例えばすべての自然数の集合{1, 2, 3, ...}。
普遍集合: 任意の文脈において、普遍集合はすべての可能な要素の集合です。それは一般に他の集合を含み、Uで表されます。普遍集合の内容は文脈によって異なります。整数全体の集合、実数全体の集合などが含まれることがあります。

たとえば、これらの集合を考えてみてください:

A = ∅ B = {5} C = {1, 2, 3, 4, 5} D = {1, 2, 3, ...} U = {すべての整数}

これらの集合それぞれが、上で与えられた説明に従っています。集合Aは空集合です。集合Bはシングルトン集合です。集合Cは有限集合です。集合Dは無限集合で、集合Uは普遍集合です。

集合の演算

集合上で行うことができる多くの演算があります。それらは部分集合の理解や集合間の関係性において基本的です。ここにいくつかの簡単ですが重要な演算があります:

和集合

2つの集合の和集合は、それらの集合のすべての要素を含む別の集合です。和集合の記号は∪です。AとBが集合の場合、それらの和集合はA ∪ Bとして表されます。たとえば、A = {1, 2, 3}とB = {3, 4, 5}なら:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

共通部分

二つの集合の共通部分は、両方の集合に共通するすべての要素の集合です。共通部分の記号は∩です。集合AとBの場合、共通部分はA ∩ Bと表記されます。もしA = {1, 2, 3}でB = {3, 4, 5}なら:

A ∩ B = {3}

差集合

二つの集合AとBの差集合はAに含まれるがBに含まれないすべての要素の集合です。それはA - Bとして表記されます。先に示した集合AとBを用いて:

A - B = {1, 2}

B - A = {4, 5}

補集合

集合Aの補集合は、普遍集合Uの中でAに含まれないすべての要素の集合です。補集合はしばしばA'またはA^cとして表されます。U = {0, 1, 2, 3, 4, 5}とA = {1, 2, 3}ならば:

A' = {0, 4, 5}

冪集合

冪集合とは、集合Aのすべての可能な部分集合の集合のことです。A自身と空集合を含みます。もしAがn要素を持つ場合、その冪集合は2^n要素を持ちます。

集合A = {1, 2}を考えてみましょう。Aの冪集合は:

ℙ(A) = {{}, {1}, {2}, {1, 2}}

ここには、空集合{}と集合A自身を含むすべての四つの可能な部分集合があります。

論理集合関係

集合論は論理学とも多くの重なりを持ち、両者の関係を理解することは非常に有意義です。集合間の関係は論理的関係を表し、さまざまな証明や論理的評価において重要です。

集合の等式

二つの集合AとBは、その要素が完全に同じである場合に等しいと言われます。これは次のことを意味します:

A = B ⇔ (∀x(x ∈ A ⇔ x ∈ B))

言い換えれば、Aのすべての要素がBにあり、Bのすべての要素がAにある場合、二つの集合は等しいということです。

部分グループの作成

論理的関係の1つは部分集合の形成です。部分集合の形成は、集合Aと集合B間の論理的な関係の1つです。ある要素xが集合Aに属するすべての要素の場合、それはBにも属している必要があります。

数学的には次のように表現されます:

A ⊆ B ⇔ (∀x(x ∈ A ⇒ x ∈ B))