Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Física matemática


Física matemática é um campo interdisciplinar que combina matemática com física. Envolve a aplicação de métodos matemáticos pelos quais é possível descobrir, explicar e, muitas vezes, resolver problemas que surgem do mundo físico. Para os estudantes de pós-graduação em matemática, ela oferece uma perspectiva única de como teorias matemáticas abstratas podem ser integradas ao campo mais tangível da física.

O estudo da física matemática faz a ponte entre a física teórica e o rigor matemático. Esta disciplina pode desvendar as estruturas matemáticas que sustentam as teorias físicas. Uma maneira de pensar nisso é como uma forma de modelagem matemática, onde conceitos como equações diferenciais, álgebra linear e tomografia desempenham papéis importantes. Trata-se de usar a matemática para expressar o funcionamento do universo.

Contexto histórico

A matemática e a física estão entrelaçadas há séculos. Desde os primeiros trabalhos de Euclides sobre geometria até o Principia Mathematica de Newton, a matemática serviu como uma linguagem para expressar fenômenos físicos. As leis que governam o movimento, a gravidade e a termodinâmica derivam todas de modelos matemáticos. À medida que a ciência progrediu, a complexidade matemática necessária para descrever com precisão o universo também aumentou.

Conceitos básicos

Cálculo na física

O cálculo está no coração da física porque permite aos cientistas descrever mudanças. Quer seja a trajetória de um míssil ou a taxa de crescimento de uma colônia bacteriana, o cálculo fornece as ferramentas para modelar esses processos.

Exemplo: A fórmula básica para velocidade em termos de cálculo é:

v(t) = frac{d}{dt} s(t)

onde v(t) é velocidade, s(t) é uma função de posição em relação ao tempo t.

Equações diferenciais

Equações diferenciais são talvez a parte mais importante da física matemática. Essas equações envolvem funções e suas derivadas, que representam quantidades físicas e suas mudanças ao longo do tempo.

Exemplo: A segunda lei de Newton:

F = m cdot a

pode ser expressa usando uma equação diferencial. Se expressar a aceleração a como a segunda derivada da função de posição s(t), você obtém:

F = m cdot frac{d^2}{dt^2} s(t)

Métodos matemáticos

Álgebra linear

A álgebra linear é outra ferramenta matemática fundamental usada na física. Envolve o estudo de vetores, espaços vetoriais e transformações lineares, que são importantes na explicação da mecânica quântica, eletromagnetismo e relatividade geral.

Exemplo visual: Sujeitar pontos em um plano representados por vetores a transformações como rotações pode ser descrito usando a multiplicação de matrizes.

Equações diferenciais parciais

Enquanto equações diferenciais ordinárias lidam com funções de uma única variável, equações diferenciais parciais (EDPs) envolvem funções de várias variáveis e suas derivadas parciais. Essas equações são fundamentais na descrição de fenômenos como condução de calor, propagação de ondas e mecânica quântica.

Exemplo: A equação do calor em uma dimensão é uma EDP:

frac{partial u}{partial t} = alpha frac{partial^2 u}{partial x^2}

onde u é a função de distribuição de temperatura, t é o tempo, x é a coordenada espacial, e alpha é a constante de difusão térmica.

Teoria e aplicações

Mecânica quântica

A mecânica quântica mudou fundamentalmente nossa compreensão do universo na escala microscópica. Os principais aspectos da mecânica quântica são descritos matematicamente usando álgebra linear e funções especiais.

Exemplo: A base da mecânica quântica, a equação de Schrödinger, usa equações diferenciais parciais para descrever a função de onda das partículas:

ihbar frac{partial}{partial t} Psi = hat{H} Psi

Teoria geral da relatividade de Einstein

A teoria de Einstein, que descreve a força da gravidade, utiliza cálculo avançado e álgebra. Ela argumenta que objetos massivos criam distorções no espaço-tempo, que são sentidas como gravidade.

Exemplo: As equações de campo da relatividade geral são EDPs não lineares:

R_{munu} - frac{1}{2}g_{munu}R + g_{munu}Lambda = frac{8pi G}{c^4}T_{munu}

Técnicas notáveis

Análise de Fourier

A análise de Fourier é usada para decompor funções em componentes sinusoidais. É particularmente útil no processamento de sinais e na resolução de EDPs.

Exemplo: Quebrar uma onda sonora complexa em ondas senoidais mais simples torna mais fácil a análise.

Análise complexa

A análise complexa estuda funções que operam sobre números complexos, que aparecem em vários aspectos da física matemática. Por exemplo, a análise complexa é usada na avaliação de certas integrais.

Exemplo: Os números complexos podem simplificar muitas expressões matemáticas, como em eletromagnetismo.

z = x + yi

Conclusão

Física matemática é um campo vasto que conecta teorias matemáticas abstratas a fenômenos físicos concretos. Ao compreender as ferramentas matemáticas e os princípios que regem a física, os estudantes não apenas aprendem a resolver problemas fascinantes, mas também ganham insights mais profundos sobre o universo. Este campo é uma jornada empolgante onde a beleza abstrata da matemática encontra os complexos mecanismos do mundo físico.


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