Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Funções especiais


No mundo da física matemática, funções especiais desempenham um papel importante. Estas funções frequentemente aparecem como soluções para equações diferenciais que surgem em problemas de física e engenharia. Elas são chamadas de "especiais" porque possuem propriedades bem estabelecidas, usos específicos e importância histórica, e ajudam a tornar a solução de problemas complexos mais manejável.

Funções especiais comumente vistas

Algumas das funções especiais mais comumente encontradas incluem:

  • Função gama
  • Funções de Bessel
  • Polinômios de Legendre
  • Polinômios de Hermite
  • Polinômios de Laguerre
  • Função hipergeométrica

Função gama

Vamos começar com a função gama, que é uma extensão da função fatorial para números complexos. Para qualquer inteiro positivo n, o fatorial é dado por:

n! = n × (n-1) × ... × 1

A função gama, representada por Γ(n), estende esse conceito ainda mais. Ela é definida pela integral:

Γ(n) = ∫ 0 ∞ t n-1 e -t dt

Isto corresponde ao fatorial para inteiros positivos:

Γ(n) = (n-1)!

Para números não inteiros, a função gama fornece uma maneira de "extrapolar" o conceito de fatoriais. Isto é útil em muitas áreas da matemática e da física.

Função gama (conceitual)

Funções de Bessel

As funções de Bessel são soluções da equação diferencial de Bessel e são usadas em problemas envolvendo simetria cilíndrica, como membranas vibrantes ou condução de calor em objetos cilíndricos. A forma geral de uma função de Bessel é:

x² y'' + xy' + (x² - n²)y = 0

As funções de Bessel do primeiro tipo, J n (x), são normais, e podem ser escritas usando uma série infinita:

J n (x) = (x/2) n Σ k=0 ∞ (-1) k / (k! Γ(n+k+1)) (x²/4) k
Funções de Bessel

Polinômios de Legendre

Os polinômios de Legendre surgem na solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas, frequentemente em problemas de teoria do potencial. A equação diferencial de Legendre é:

(1 - x²)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0

O polinômio de Legendre pode ser gerado usando a fórmula de Rodrigues:

P n (x) = 1/(2 n n!) d n /dx n [(x² - 1) n ]
Polinômios de Legendre

Polinômios de Hermite

Os polinômios de Hermite são usados em teoria da probabilidade, especialmente no contexto da distribuição gaussiana, bem como em soluções do oscilador harmônico quântico na mecânica quântica. Eles satisfazem a equação de diferença de Hermite:

y'' - 2xy' + 2ny = 0

Estes podem ser definidos usando funções geradoras ou relações de recorrência, tais como:

H n+1 (x) = 2xH n (x) - 2nH n-1 (x)
Polinômios de Hermite

Polinômios de Laguerre

Os polinômios de Laguerre são soluções da equação diferencial de Laguerre, que se encontra, por exemplo, na mecânica quântica ao resolver a parte radial da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio:

xy'' + (1 - x)y' + ny = 0

Estes podem ser gerados usando a fórmula de Rodrigues:

L n (x) = e x d n /dx n (e -x x n )
Polinômios de Laguerre

Função hipergeométrica

A função hipergeométrica é muito geral e generaliza muitas outras funções especiais. Ela é representada usando a seguinte série:

F(a, b; c; x) = Σ n=0 ∞ (a) n (b) n / (c) n × (x n / n!)

onde (q) n denota o símbolo de Pochhammer, que é um fatorial crescente:

(q) n = q(q+1)(q+2)...(q+n-1)
Hipergeométrica

Aplicações das funções especiais

As funções especiais têm amplas aplicações em vários campos como a mecânica quântica, engenharia elétrica, aerodinâmica, etc. Por exemplo:

  • Funções de Bessel aparecem em potenciais estáticos, condução de calor e propagação de ondas.
  • Funções de Legendre e relacionadas aparecem em cálculos de campos gravitacionais e estrutura atômica.
  • Polinômios de Hermite são encontrados em teoria da probabilidade e funções de onda mecânica quântica.
  • Polinômios de Laguerre são usados em química quântica e solução radial do átomo de hidrogênio.
  • Funções gama são usadas em análise complexa e teoria dos números.
  • Funções hipergeométricas generalizam muitas outras funções e são usadas na física, incluindo o campo da física atômica.

Conclusão

O estudo das funções especiais é um campo vasto, pois envolve tanto profundidade matemática quanto uma ampla gama de aplicações nas ciências físicas. Cada função especial desenvolveu uma rica história com contextos e problemas de aplicação específicos. Compreender essas funções permite que se aprofunde em problemas teóricos e aplicados avançados da física com ferramentas analíticas poderosas.


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