Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Series de Fourier


En física matemática, una serie de Fourier es una forma de representar una función como una suma de senos y cosenos. Ayuda a analizar funciones periódicas al mirarlas a través de sus componentes de frecuencia. Con la serie de Fourier, fenómenos complejos y periódicos pueden descomponerse en componentes oscilatorios más simples. Esta capacidad es particularmente útil en campos como la acústica, la óptica, la ingeniería eléctrica y la mecánica cuántica, donde los patrones de ondas son importantes.

Origen e importancia

Las series de Fourier llevan el nombre de Jean-Baptiste Joseph Fourier, quien introdujo la idea mientras estudiaba problemas de transferencia de calor a inicios del siglo XIX. La visión de Fourier fue que una función periódica podría expresarse como una suma infinita de senos y cosenos. Esta revelación fue revolucionaria, ya que allanó el camino para desarrollar una poderosa herramienta analítica conocida como análisis de Fourier.

Funciones periódicas

Para entender las series de Fourier, primero necesitamos entender qué es una función recurrente. Una función ( f(t) ) se llama recurrente si existe un número positivo T tal que para todos los valores de t:

f(t + T) = f(t)

El menor T positivo para el cual esto es cierto se llama el período de la función.

La idea básica de la serie de Fourier

La idea principal detrás de las series de Fourier es que podemos escribir cualquier función periódica como una suma de funciones seno y coseno simples. Matemáticamente, esto se representa como:

f(t) = a_0 + sum_{n=1}^{infty} left[ a_n cosleft(frac{2pi nt}{T}right) + b_n sinleft(frac{2pi nt}{T}right) right]

Aquí, ( a_0 ), ( a_n ), y ( b_n ) son conocidos como los coeficientes de Fourier.

Calculando los coeficientes de Fourier

Para encontrar los coeficientes de Fourier, usamos las siguientes fórmulas, que implican la integración sobre un período de la función:

a_0 = frac{1}{T} int_{0}^{T} f(t) , dt a_n = frac{2}{T} int_{0}^{T} f(t) cosleft(frac{2pi nt}{T}right) , dt b_n = frac{2}{T} int_{0}^{T} f(t) sinleft(frac{2pi nt}{T}right) , dt

Estos coeficientes miden cuánto de cada seno y coseno está presente en la función.

Ejemplo visual de series de Fourier

Consideremos un ejemplo simple, supongamos que queremos aproximar una función de onda cuadrada. Una onda cuadrada varía periódicamente entre -1 y 1. Usando la serie de Fourier, puede aproximarse al sumar varias funciones seno.

Cuantos más términos (seno) incluyamos en la serie, más nos acercamos a la forma real de la onda cuadrada.

La línea azul en la imagen SVG anterior muestra la aproximación de la onda cuadrada usando series de Fourier.

Ejemplo textual de series de Fourier

Consideremos una forma de onda periódica dentada definida como:

f(t) = t - lfloor t rfloor, ; 0 leq t < T

donde ( lfloor t rfloor ) representa la función piso, o el entero más grande menor o igual a ( t ). La representación de la serie de Fourier de esta onda es:

f(t) = frac{1}{2} - sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n} sinleft(frac{2pi nt}{T}right)

Esto representa el crecimiento lineal de la onda dentada, con la adición de numerosos términos seno para coincidir con su patrón.

Funciones pares e impares

Las funciones pueden presentar simetría, lo que simplifica bastante sus series de Fourier. Una función es también llamada simétrica cuando:

f(-t) = f(t)

Para funciones pares, todos los coeficientes de signo ( b_n ) son cero. Por el contrario, una función es impar si:

f(-t) = -f(t)

Para funciones impares, todos los coeficientes del coseno ( a_n ) (excepto posiblemente ( a_0 )) son cero. Comprender la simetría ayuda a reducir la complejidad en los cálculos.

Aplicaciones prácticas

Las series de Fourier tienen muchas aplicaciones. Es importante destacar algunas de estas:

  1. Procesamiento de señales: Descompone las señales de audio en frecuencias individuales, permitiendo aislar o amplificar sonidos específicos.
  2. Procesamiento de imágenes: La representación concisa de imágenes ayuda con tareas como la compresión y detección de bordes.
  3. Vibraciones y ondas: Análisis de vibraciones mecánicas y frecuencia de ondas sonoras en estructuras.

Convergencia de series de Fourier

Un aspecto importante de cualquier serie es entender su convergencia, es decir, si la suma infinita se acerca a una función bien definida y finita. Las series de Fourier convergen bajo una amplia gama de condiciones. Por ejemplo, si una función ( f(t) ) es continua por partes y tiene un número finito de máximos y mínimos dentro de un período, entonces su serie de Fourier converge a ( f(t) ).

Inconvenientes y el fenómeno de Gibbs

Aunque la serie de Fourier converge, puede mostrar un comportamiento extraño cerca de la discontinuidad conocido como el fenómeno de Gibbs. Esto aparece como pequeñas oscilaciones cerca de los puntos de transición en la función. Aunque estas oscilaciones no desaparecen con más términos en la serie, se vuelven insignificantes en muchos casos prácticos.

Variaciones y expansiones

Basado en el concepto de series de Fourier, existen varios otros métodos analíticos disponibles:

  • Transformada de Fourier: Una generalización para convertir funciones del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, incluso para funciones no periódicas.
  • Transformada de Laplace: A menudo utilizada para el análisis de sistemas de control debido a su tratamiento uniforme de condiciones marginales.
  • Transformada Discreta de Fourier (DFT): Utilizada para analizar señales discretas, usualmente implementada en su versión más rápida: la Transformada Rápida de Fourier (FFT).

Conclusión

Las series de Fourier se erigen como un pilar de la física matemática, permitiendo que funciones complejas sean investigadas en términos más simples. La capacidad de descomponer una función en componentes sinusoidales proporciona intuiciones que subyacen a muchos de los asombrosos logros tecnológicos modernos y avances teóricos en ciencia e ingeniería.

Al capturar la esencia de la periodicidad y la frecuencia, el trabajo de Fourier perdura como una herramienta invaluable en muchos campos, demostrando continuamente el poder profundo de la abstracción matemática.


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