Бакалавриат
  1. Алгебра  1.1. Линейная алгебра  1.1.1. Матрицы  1.1.2. Определители  1.1.3. Системы линейных уравнений  1.1.4. Понимание векторных пространств в линейной алгебре  1.1.5. Линейные преобразования  1.1.6. Собственные значения и собственные векторы  1.1.7. Диагонализация  1.1.8. Внутреннее пространственное произведение  1.1.9. Ортогональность и ортонормированный базис  1.1.10. Сингулярное разложение  1.2. Абстрактная алгебра  1.2.1. Группа  1.2.2. Подгруппы  1.2.3. Циклические группы  1.2.4. Группа перестановок  1.2.5. Гомеоморфизм  1.2.6. Нормальные подгруппы  1.2.7. Введение в кольца в абстрактной алгебре  1.2.8. Поле  1.2.9. Идеалы и фактор-кольца  1.2.10. Кольца многочленов  1.2.11. Векторное пространство над полем  1.2.12. Модуль  1.2.13. Введение в теорию Галуа
  2. Расчеты  2.1. Дифференциальное исчисление  2.1.1. Понимание пределов в дифференциальном исчислении  2.1.2. Понимание континуума в дифференциальном исчислении  2.1.3. Производные  2.1.4. Понимание правила цепочки в дифференциальном исчислении  2.1.5. Неявное дифференцирование  2.1.6. Приложения производных  2.1.7. Задачи оптимизации  2.1.8. Понимание теоремы о среднем значении  2.2. Интегральное исчисление  2.2.1. Определенный интеграл  2.2.2. Неопределенный интеграл  2.2.3. Методы интеграции  2.2.4. Неправильные интегралы  2.2.5. Применение интеграла  2.2.6. Длина дуги и площадь поверхности  2.3. Многомерное исчисление  2.3.1. Частная производная  2.3.2. Градиент в многомерном исчислении  2.3.3. Дивергенция и ротор  2.3.4. Введение в множественное интегрирование  2.3.5. Понимание линейных интегралов  2.3.6. Поверхностные интегралы  2.3.7. Объяснение теоремы Грина  2.3.8. Теорема Стокса  2.3.9. Теорема о дивергенции  2.3.10. Якобиан
  3. Дифференциальные уравнения  3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  3.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  3.1.2. Дифференциальные уравнения высшего порядка  3.1.3. Системы дифференциальных уравнений  3.1.4. Решение в виде ряда  3.1.5. Численные методы для ОДУ  3.2. Уравнения в частных производных  3.2.1. Понимание уравнения теплопроводности  3.2.2. Уравнение волны  3.2.3. Уравнение Лапласа  3.2.4. Разделение переменных  3.2.5. Методы преобразования Фурье в уравнениях с частными производными
  4. Реальный анализ  4.1. Последовательности и ряды  4.1.1. Сходимость последовательностей  4.1.2. Тестирование рядов  4.1.3. Степенной ряд  4.1.4. Равномерная сходимость  4.2. Функции действительных переменных  4.2.1. Пределы и непрерывность  4.2.2. Понимание равномерной непрерывности  4.2.3. Дифференцирование функций действительных переменных  4.2.4. Интегрирование по Риману  4.2.5. Интеграл Лебега
  5. Введение в комплексный анализ  5.1. Комплексные числа  5.1.1. Полярная форма  5.1.2. Экспоненциальная форма в комплексных числах  5.2. Функции комплексной переменной  5.2.1. Аналитические функции  5.2.2. Уравнения Коши–Римана  5.2.3. Контурные интегралы  5.2.4. Теорема Коши о интеграции  5.2.5. Теорема о вычетах в комплексном анализе  5.2.6. Конформное отображение
  6. Вероятность и статистика  6.1. Теория вероятностей  6.1.1. Основные концепции вероятности  6.1.2. Случайные величины  6.1.3. Понимание вероятностных распределений  6.1.4. Ожидание и вариация  6.1.5. Условная вероятность и теорема Байеса  6.2. Фигуры  6.2.1. Описательная статистика  6.2.2. Инференциальная статистика  6.2.3. Проверка гипотез  6.2.4. Регрессионный анализ  6.2.5. Понимание ANOVA: анализ дисперсии
  7. Численные методы  7.1. Алгоритм нахождения корней  7.2. Численное интегрирование  7.3. Численное дифференцирование  7.4. Численные решения дифференциальных уравнений  7.5. Вычисления с матрицами  7.6. Интерполяция и экстраполяция
  8. Введение в дискретную математику  8.1. Аргументы и доказательства  8.2. Компаньонство  8.3. Теория графов  8.4. Алгебра логики  8.5. Рекуррентное соотношение
  9. Линейное программирование и оптимизация  9.1. Понимание метода симплекс в линейном программировании и оптимизации  9.2. Двойственность в линейном программировании и оптимизации  9.3. Целочисленное программирование  9.4. Нелинейная оптимизация
  10. Понимание топологии: путешествие по формам и пространствам  10.1. Метрик пространство  10.2. Топологические пространства  10.3. Непрерывность и гомеоморфизмы  10.4. Плотность  10.5. Ассоциативность в топологии
  11. Введение в геометрию  11.1. Евклидова геометрия  11.2. Дифференциальная геометрия  11.3. Неевклидова геометрия  11.4. Проективная геометрия
  12. Математическая физика  12.1. Ряд Фурье  12.2. Преобразование Лапласа  12.3. Применение дифференциальных уравнений  12.4. Специальные функции
  13. Теория множеств и логика  13.1. Множества и подмножества  13.2. Отношения и функции  13.3. Понимание мощности в теории множеств и логике  13.4. Понимание формальной логики в теории множеств и логике  13.5. Теория множества Цермело-Френкеля
  14. Введение в функциональный анализ  14.1. Стандартная локация  14.2. Банаховы пространства  14.3. Понимание пространства Гильберта в функциональном анализе  14.4. Линейные операторы

Бакалавриат ↓


Введение в геометрию


Геометрия — это раздел математики, который изучает размер, форму, свойства и измерения объектов. Это одна из старейших тем в математике, которая находит применение во многих аспектах нашей повседневной жизни. От самых маленьких молекул до самых больших галактик, геометрия предоставляет нам инструменты для понимания структуры вселенной. В рамках университетского обучения, геометрия помогает студентам развивать критическое мышление и пространственное восприятие.

Основные концепции

Геометрия основана на базовых концепциях, таких как точки, линии и плоскости. Понимание этих концепций является основой для изучения более сложных геометрических фигур и структур.

Точка

Точка обозначает местоположение в пространстве. Она не имеет размера, ширины, длины или глубины. Она представляется точкой и обозначается заглавной буквой.

Линии

Линия — это прямая одномерная фигура, которая простирается до бесконечности в обоих направлениях. Она имеет бесконечную длину, но не имеет ширины или толщины. Линия часто представляется двумя точками и символом линии, например (overleftrightarrow{AB}).

Изображение линии:

  
  
  
  A
  B

Плоскость

Плоскость — это плоская двумерная поверхность, которая простирается бесконечно во всех направлениях. Плоскости имеют длину и ширину, но не имеют толщины. Простой пример плоскости — это поверхность листа бумаги, который простирается бесконечно.

Изображение плоскости:

  
  Плоскость ABCD

Типы геометрии

Геометрия может быть разделена на различные подкатегории, включая евклидову, неевклидову, аналитическую и дифференциальную геометрию.

Евклидова геометрия

Евклидова геометрия изучает плоское пространство, основанное на теориях древнегреческого математика Евклида. Она фокусируется на таких концепциях, как точки, линии и плоскости в двумерном или трехмерном пространстве.

Неевклидова геометрия

Неевклидова геометрия включает изучение искривленных пространств. Два основных типа: гиперболическая и эллиптическая геометрия. В отличие от евклидовой геометрии, неевклидова геометрия исследует пространства, в которых параллельные линии могут никогда не пересекаться или иметь более одной точки пересечения.

Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия использует координатные системы для описания геометрических фигур. Этот подход сочетает алгебру и геометрию для решения геометрических задач. Рене Декарт, который разработал декартову систему координат, является ключевой фигурой в аналитической геометрии.

Дифференциальная геометрия

Дифференциальная геометрия использует исчисление и алгебру для изучения свойств кривых и поверхностей. Это направление геометрии важно для понимания формы пространства в физике, особенно в теории относительности.

Геометрические формы и свойства

Углы и их типы

Угол образуется при пересечении двух линий или лучей в одной точке. Углы измеряются в градусах. Основные типы углов:

  • Острый угол: Угол, который меньше 90 градусов.
  • Прямой угол: Угол, который равен 90 градусам.
  • Тупой угол: Угол, который больше 90 градусов, но меньше 180 градусов.
  • Развёрнутый угол: Угол, который равен 180 градусам.
Изображение углов:

  
  Острый
  
  Прямой
  
  Тупой

Треугольник

Треугольники — это многоугольники с тремя сторонами и классифицируются в зависимости от типов углов и длин сторон.

  • Равносторонний треугольник: Все три стороны и углы равны.
  • Равнобедренный треугольник: Две стороны и два угла равны.
  • Разносторонний треугольник: Все стороны и углы разные.
Изображение треугольников:

  
  Равносторонний
  
  Равнобедренный
  
  Разносторонний

Четырехугольник

Четырехугольники — это многоугольники с четырьмя сторонами. Некоторые распространенные четырехугольники включают:

  • Квадрат: Четыре равные стороны и четыре прямых угла.
  • Прямоугольник: Противоположные стороны равны, все углы прямые.
  • Параллелограмм: Противоположные стороны равны и параллельны.
  • Ромб: Все стороны равны, противоположные углы также равны.
  • Трапеция: Только одна пара параллельных сторон.
Изображение четырехугольников:

  
  Квадрат
  
  Прямоугольник
  
  Параллелограмм
  
  Ромб

Окружности

Окружность — это фигура, в которой все точки на границе находятся на одинаковом расстоянии от центра. Основные элементы окружности включают:

  • Радиус: Расстояние от центра окружности до любой точки.
  • Диаметр: Расстояние через центр окружности (вдвое больше радиуса).
  • Окружность: Общая длина окружности.
  • Дуга: Любая часть окружности.
  • Сектор: Часть окружности, как кусок пирога.

Формула окружности дана как:

    C = 2 * π * r

где r - это радиус окружности, а π (пи) примерно равно 3,14159.

Превращения

Геометрические преобразования — это операции, которые изменяют положение, размер или ориентацию фигуры. К распространенным преобразованиям относятся:

Перемещение

Перемещение включает перемещение фигуры из одного места в другое без вращения или переворота. Это похоже на сдвиг фигуры на плоскости.

Изображение перемещения:

Вращение

Вращение перемещает фигуру вокруг фиксированной точки, называемой центром вращения. Фигура остается симметричной, сохраняя размер и форму, но угол изменяется.

Изображение вращения:

Отражение

Отражение переворачивает фигуру вдоль линии, создавая зеркальное изображение. Эта линия называется линией отражения.

Изображение отражения:

Масштабирование

Масштабирование изменяет размер фигуры. Оно может быть равномерным, что пропорционально изменяет размер фигуры, или неравномерным, что изменяет размеры независимо.

Изображение масштабирования:

Заключение

Геометрия предоставляет богатый и разнообразный визуальный ландшафт, от простых форм, таких как точки, линии и окружности, до более сложных форм, таких как многоугольники и трехмерные объекты. Понимая принципы геометрии, студенты могут лучше понимать пространственные элементы, с которыми они взаимодействуют каждый день. Углубление в геометрию не только улучшает аналитические и решающие навыки, но и развивает воображение и креативность, закладывая основу для будущего обучения в математике, науке, архитектуре и других областях. Это исследование геометрии — лишь начало долгого пути понимания математической красоты, которая формирует наш мир.


Бакалавриат → 11


U
username
0%
завершено в Бакалавриат

← предыдущая (10.5)
Ассоциативность в топологии
следующая (11.1) →
Евклидова геометрия

комментарии 



Введение в геометрию

https://www.buddymath.com/ug/11?bmal=ru