Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

Graduação ↓


Introdução à Geometria


A geometria é um ramo da matemática que estuda o tamanho, a forma, as propriedades e as dimensões dos objetos. É um dos tópicos mais antigos da matemática e pode ser encontrado em muitos aspectos de nossas vidas diárias. Desde a menor molécula até a maior galáxia, a geometria nos fornece as ferramentas para entender a estrutura do universo. Nos estudos de graduação, a geometria oferece aos alunos uma maneira de desenvolver habilidades de raciocínio crítico e consciência espacial.

Conceitos básicos

A geometria é baseada em conceitos básicos como pontos, linhas e planos. Compreender esses conceitos forma a base para explorar formas e estruturas geométricas mais complexas.

Ponto

Um ponto indica uma localização no espaço. Não possui tamanho, nem largura, nem comprimento e nem profundidade. É representado por um ponto e rotulado com uma letra maiúscula.

Linhas

Uma linha é uma figura unidimensional reta que se estende ao infinito em ambas as direções. Ela tem comprimento infinito, mas não possui largura nem espessura. Uma linha é frequentemente representada por dois pontos e um símbolo de linha, como (overleftrightarrow{AB}).

Visualização da linha:

  
  
  
  A
  B

Plano

Um plano é uma superfície plana bidimensional que se estende infinitamente em todas as direções. Os planos têm comprimento e largura, mas não espessura. Um exemplo simples de um plano é a superfície de uma folha de papel que se estende infinitamente.

Visualização do plano:

  
  Plano ABCD

Tipos de geometria

A geometria pode ser dividida em vários subcampos, incluindo a geometria euclidiana, não euclidiana, analítica e diferencial.

Geometria euclidiana

A geometria euclidiana é o estudo do espaço plano, baseada nas teorias do antigo matemático grego Euclides. Foca em conceitos como pontos, linhas e planos em espaço bidimensional ou tridimensional.

Geometria não euclidiana

A geometria não euclidiana envolve o estudo de espaços curvos. Os dois principais tipos são a geometria hiperbólica e a elíptica. Diferente da geometria euclidiana, a geometria não euclidiana explora espaços onde linhas paralelas podem nunca se cruzar ou podem ter mais de um ponto de interseção.

Geometria analítica

A geometria analítica usa sistemas de coordenadas para descrever formas geométricas. Essa abordagem combina álgebra e geometria para resolver problemas geométricos. René Descartes, que desenvolveu o sistema de coordenadas cartesianas, é uma figura chave na geometria analítica.

Geometria diferencial

A geometria diferencial usa cálculo e álgebra para estudar as propriedades de curvas e superfícies. Este ramo da geometria é essencial para compreender a forma do espaço na física, especialmente na teoria da relatividade.

Formas geométricas e propriedades

Ângulos e seus tipos

Um ângulo é formado quando duas linhas ou raios se encontram em um ponto. Os ângulos são medidos em graus. Os principais tipos de ângulos são:

  • Ângulo agudo: Um ângulo que é menor que 90 graus.
  • Ângulo reto: Um ângulo que é exatamente 90 graus.
  • Ângulo obtuso: Um ângulo que é maior que 90 graus, mas menor que 180 graus.
  • Ângulo raso: Um ângulo que é exatamente 180 graus.
Visualização do ângulo:

  
  Agudo
  
  Reto
  
  Obtuso

Triângulo

Os triângulos são polígonos de três lados e são classificados com base nos tipos de ângulos e comprimentos dos lados.

  • Triângulo equilátero: Todos os três lados e ângulos são iguais.
  • Triângulo isósceles: Dois lados e dois ângulos são iguais.
  • Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes.
Visualização de triângulos:

  
  Equilátero
  
  Isósceles
  
  Escaleno

Quadrilátero

Os quadriláteros são polígonos com quatro lados. Alguns quadriláteros comuns incluem:

  • Quadrado: Quatro lados iguais e quatro ângulos retos.
  • Retângulo: Lados opostos são iguais, e todos os ângulos são retos.
  • Paralelogramo: Lados opostos são iguais e paralelos.
  • Losango: Todos os lados são iguais, e os ângulos opostos também são iguais.
  • Trapézio: Apenas um par de lados paralelos.
Visualização de quadriláteros:

  
  Quadrado
  
  Retângulo
  
  Paralelogramo
  
  Losango

Círculos

Um círculo é uma figura cujos todos os pontos na borda estão à mesma distância do centro. Os principais elementos de um círculo incluem:

  • Raio: A distância do centro do círculo a qualquer ponto.
  • Diâmetro: A distância através do centro do círculo (duas vezes o raio).
  • Circunferência: A distância total ao redor do círculo.
  • Arco: Qualquer parte de uma circunferência.
  • Setor: Uma fatia de um círculo, como uma fatia de torta.

A fórmula para a circunferência de um círculo é dada como:

    C = 2 * π * r

onde r é o raio do círculo e π (pi) é aproximadamente 3.14159.

Transformações

Transformações geométricas são operações que mudam a posição, o tamanho ou a orientação de uma forma. Transformações comuns incluem:

Translação

A translação envolve mover uma forma de um lugar para outro sem girá-la ou invertê-la. Você pode pensar nisso como deslizar a forma em um plano.

Visualização de translação:

Rotação

A rotação move uma figura em torno de um ponto fixo chamado centro de rotação. A figura permanece simétrica, mantendo o tamanho e a forma, mas o ângulo varia.

Visualização de rotação:

Reflexão

A reflexão inverte uma figura ao longo de uma linha, produzindo uma imagem espelhada. Esta linha é chamada de linha de reflexão.

Visualização de reflexão:

Escalonamento

O escalonamento altera o tamanho da forma. Pode ser uniforme, o que altera o tamanho da forma proporcionalmente, ou não uniforme, que altera as dimensões de forma independente.

Visualização de escalonamento:

Conclusão

A geometria oferece uma paisagem visual rica e variada, desde formas simples como pontos, linhas e círculos até formas mais complexas como polígonos e objetos tridimensionais. Ao entender os princípios da geometria, os alunos podem ter uma melhor compreensão dos elementos espaciais com os quais interagem diariamente. Envolver-se com a geometria não só melhora as habilidades analíticas e de resolução de problemas, mas também estimula a imaginação e a criatividade, estabelecendo as bases para futuros estudos em matemática, ciência, arquitetura e além. Esta exploração da geometria é apenas o começo de uma jornada ao longo da vida para entender a beleza matemática que molda o nosso mundo.


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