Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Introducción a la geometría


La geometría es una rama de las matemáticas que estudia el tamaño, la forma, las propiedades y las dimensiones de los objetos. Es uno de los temas más antiguos de las matemáticas y se puede encontrar en muchos aspectos de nuestra vida diaria. Desde la molécula más pequeña hasta la galaxia más grande, la geometría nos brinda las herramientas para comprender la estructura del universo. En los estudios de grado, la geometría proporciona a los estudiantes una manera de desarrollar habilidades de razonamiento crítico y conciencia espacial.

Conceptos básicos

La geometría se basa en conceptos básicos como puntos, líneas y planos. Comprender estos conceptos forma la base para explorar formas y estructuras geométricas más complejas.

Punto

Un punto indica una ubicación en el espacio. No tiene tamaño, ni ancho, ni longitud ni profundidad. Se representa con un punto y se etiqueta con una letra mayúscula.

Líneas

Una línea es una figura unidimensional recta que se extiende hasta el infinito en ambas direcciones. Tiene longitud infinita, pero no tiene ancho ni grosor. Una línea suele ser representada por dos puntos y un símbolo de línea, como (overleftrightarrow{AB}).

Vista de línea:

  
  
  
  A
  B

Plano

Un plano es una superficie bidimensional plana que se extiende infinitamente en todas las direcciones. Los planos tienen longitud y ancho pero no grosor. Un ejemplo simple de un plano es la superficie de una hoja de papel que se extiende infinitamente.

Vista de plano:

  
  Plano ABCD

Tipos de geometría

La geometría se puede dividir en varios subcampos, incluyendo la geometría euclidiana, no euclidiana, analítica y diferencial.

Geometría euclidiana

La geometría euclidiana es el estudio del espacio plano, basado en las teorías del antiguo matemático griego Euclides. Se centra en conceptos como puntos, líneas y planos en el espacio bidimensional o tridimensional.

Geometría no euclidiana

La geometría no euclidiana involucra el estudio de espacios curvos. Los dos tipos principales son la geometría hiperbólica y la elíptica. A diferencia de la geometría euclidiana, la geometría no euclidiana explora espacios donde las líneas paralelas pueden nunca intersectarse o pueden tener más de un punto de intersección.

Geometría analítica

La geometría analítica utiliza sistemas de coordenadas para describir formas geométricas. Este enfoque combina álgebra y geometría para resolver problemas geométricos. René Descartes, quien desarrolló el sistema de coordenadas cartesianas, es una figura clave en la geometría analítica.

Geometría diferencial

La geometría diferencial utiliza cálculo y álgebra para estudiar las propiedades de curvas y superficies. Esta rama de la geometría es esencial para comprender la forma del espacio en la física, especialmente en la teoría de la relatividad.

Formas y propiedades geométricas

Ángulos y sus tipos

Un ángulo se forma cuando dos líneas o rayos se encuentran en un punto. Los ángulos se miden en grados. Los principales tipos de ángulos son:

  • Ángulo agudo: Un ángulo que es menor de 90 grados.
  • Ángulo recto: Un ángulo que es exactamente 90 grados.
  • Ángulo obtuso: Un ángulo que es mayor de 90 grados pero menor de 180 grados.
  • Ángulo recto: Un ángulo que es exactamente 180 grados.
Vista de ángulo:

  
  Agudo
  
  Recto
  
  Obtuso

Triángulo

Los triángulos son polígonos de tres lados y se clasifican según sus tipos de ángulo y longitudes de lado.

  • Triángulo equilátero: Los tres lados y ángulos son iguales.
  • Triángulo isósceles: Dos lados y dos ángulos son iguales.
  • Triángulo escaleno: Todos los lados y ángulos son diferentes.
Vista del triángulo:

  
  Equilátero
  
  Isósceles
  
  Escaleno

Cuadrilátero

Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados. Algunos cuadriláteros comunes incluyen:

  • Cuadrado: Cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos.
  • Rectángulo: Los lados opuestos son iguales y todos los ángulos son rectos.
  • Paralelogramo: Los lados opuestos son iguales y paralelos.
  • Rombo: Todos los lados son iguales y los ángulos opuestos también son iguales.
  • Trapezoide: Solo un par de lados paralelos.
Vista de cuadrante:

  
  Cuadrado
  
  Rectángulo
  
  Paralelogramo
  
  Rombo

Círculos

Un círculo es una figura cuyos todos los puntos en la frontera son la misma distancia del centro. Los elementos principales de un círculo incluyen:

  • Radio: La distancia desde el centro del círculo hasta cualquier punto.
  • Diámetro: La distancia a través del centro del círculo (dos veces el radio).
  • Circunferencia: La distancia total alrededor del círculo.
  • Arco: Cualquier parte de una circunferencia.
  • Sector: Un segmento de un círculo, como una porción de pastel.

La fórmula para la circunferencia de un círculo se da como:

    C = 2 * π * r

donde r es el radio del círculo y π (pi) es aproximadamente 3.14159.

Transformaciones

Las transformaciones geométricas son operaciones que cambian la posición, tamaño u orientación de una forma. Las transformaciones comunes incluyen:

Traslación

La traslación involucra mover una forma de un lugar a otro sin rotarla ni voltearla. Puedes pensar en ello como deslizar la forma en un plano.

Vista de traslación:

Rotación

La rotación mueve una figura alrededor de un punto fijo llamado centro de rotación. La figura sigue siendo simétrica, manteniendo el tamaño y la forma, pero varía el ángulo.

Vista de rotación:

Reflexión

La reflexión voltea una figura a lo largo de una línea, produciendo una imagen reflejada. Esta línea se llama línea de reflexión.

Vista de reflexión:

Escalado

El escalado cambia el tamaño de la forma. Puede ser uniforme, lo que cambia el tamaño de la forma proporcionalmente, o no uniforme, lo que cambia las dimensiones independientemente.

Visualización de escalado:

Conclusión

La geometría proporciona un paisaje visual rico y variado, desde formas simples como puntos, líneas y círculos hasta formas más complejas como polígonos y objetos tridimensionales. Al comprender los principios de la geometría, los estudiantes pueden obtener una mejor comprensión de los elementos espaciales con los que interactúan cada día. Involucrarse con la geometría no solo mejora las habilidades analíticas y de resolución de problemas, sino que también fomenta la imaginación y la creatividad, sentando las bases para futuros estudios en matemáticas, ciencia, arquitectura y más allá. Esta exploración de la geometría es solo el comienzo de un viaje de por vida para comprender la belleza matemática que da forma a nuestro mundo.


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