Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Geometría proyectiva


La geometría proyectiva es un área fascinante de las matemáticas que extiende los conceptos de la geometría al considerar puntos ubicados en el infinito. Es el estudio de propiedades geométricas que son invariantes bajo proyección. La geometría proyectiva puede considerarse como un desarrollo natural de la geometría euclidiana ordinaria.

Conceptos básicos

Para entender la geometría proyectiva, debemos comenzar pensando en el plano proyectivo. El plano proyectivo puede considerarse como una extensión del plano euclidiano normal. Aquí, añadimos "puntos en el infinito" donde las líneas paralelas se encuentran. Esta adición nos permite manejar fácilmente las líneas paralelas.

Considere la siguiente ilustración, que representa conceptualmente el plano proyectivo:

En esta ilustración, las dos líneas punteadas roja y azul no parecen encontrarse en el plano euclidiano. Sin embargo, en la geometría proyectiva, se encuentran en un punto en el infinito, en la dirección en la que se dirigen. Este punto extra es uno de los principios clave de la geometría proyectiva.

Coordenadas homogéneas

En la geometría proyectiva, los puntos a menudo se expresan en términos de coordenadas homogéneas. En el plano euclidiano, un punto se define típicamente como (x, y). En el plano proyectivo, un punto se representa utilizando tres coordenadas (x, y, z), con una relación de equivalencia tal que (x, y, z) es equivalente a (kx, ky, kz) para cualquier escalar no nulo k.

x = x/z
y = y/z

Estas son las coordenadas homogéneas del punto. El uso de coordenadas homogéneas tiene un impacto profundo porque simplifica las matemáticas involucradas en el trato con la proyección e intersección de líneas.

Líneas en la geometría proyectiva

Al igual que en la geometría euclidiana, en la geometría proyectiva una línea se describe mediante una ecuación. Sin embargo, debido a las coordenadas homogéneas, la ecuación de la línea toma una forma ligeramente diferente:

ax + by + cz = 0

En esta ecuación, (a, b, c) son los coeficientes que definen la línea. Note que la ecuación está definida de tal manera que permite la intersección en el infinito. De hecho, dos líneas siempre se encontrarán en un punto en la geometría proyectiva, ya sea que ese punto esté en el plano o en el infinito.

Dualidad

La geometría proyectiva es única debido a su dualidad. El principio de dualidad establece que los teoremas en geometría proyectiva siguen siendo válidos incluso cuando se intercambian puntos y líneas. Esto significa que cada declaración o teorema tiene un contraparte dual.

Considere las siguientes declaraciones duales:

  • Se dan dos puntos y la misma línea pasa por ambos.
  • Se dan dos líneas y el mismo punto es incidente en ambas.

Estas declaraciones demuestran la naturaleza dual de la geometría proyectiva y llevan a una poderosa analogía entre puntos y líneas.

Razón cruzada

La razón cruzada es un invariante importante en geometría proyectiva. Para cuatro puntos colineales A, B, C y D, su razón cruzada se da por:

(a, b; c, d) = (AC * BD) / (AD * BC)

Esta razón permanece constante bajo proyección y es una herramienta importante para el análisis de transformaciones proyectivas, ya que captura propiedades intrínsecas de cuadriláteros de puntos colineales.

Ejemplo visual

Consideremos una ilustración visual para entender la idea de razón cruzada:

A B C D

En este diagrama ilustrativo, se muestran los puntos A, B, C, D. La razón cruzada de estos puntos permanecerá constante bajo cualquier transformación de proyección.

Transformaciones proyectivas

Una transformación proyectiva, también conocida como homografía, es una transformación del plano proyectivo que mapea puntos a puntos y líneas a líneas, manteniendo la razón cruzada de los puntos. Puede describirse usando la forma matricial:

| X' | | A11 A12 A13 | | X |
| y' | = | a21 a22 a23 | * | y |
| z' | | a31 a32 a33 | | z |

donde (x, y, z) son las coordenadas homogéneas del origen y (x', y', z') son las coordenadas después de la transformación, y la matriz es una matriz 3x3 no singular.

Aplicación

La geometría proyectiva tiene aplicaciones importantes en varios campos. Aquí hay algunas de las áreas principales donde desempeña un papel importante:

Gráficos por computadora

En gráficos por computadora, se utiliza la geometría proyectiva para renderizar escenas 3D en una pantalla 2D en la que los objetos parecen disminuir en tamaño con la distancia, una técnica conocida como proyección en perspectiva.

Fotografía

En fotografía, comprender la perspectiva requiere conocimiento de las transformaciones proyectivas. Ciertas lentes producen efectos transformativos específicos en las fotos que pueden ser analizados con la geometría proyectiva.

Arquitectura

La geometría proyectiva es importante en el dibujo y diseño arquitectónico, especialmente en el dibujo en perspectiva. Los arquitectos la utilizan para estimar y visualizar cómo se verán los edificios desde diferentes puntos de vista.

Conclusión

La geometría proyectiva extiende bellamente la lógica de la geometría euclidiana al abordar el comportamiento de las líneas paralelas y proporcionar un sistema integral donde cada par de líneas se intersecta. Con sus aplicaciones que van desde el arte hasta la tecnología y su principio fundamental de dualidad, la geometría proyectiva sigue siendo un concepto esencial en matemáticas y sus campos relacionados. El estudio de la geometría proyectiva no solo sirve como una poderosa herramienta matemática sino que también enriquece nuestra visión y comprensión de las relaciones espaciales.


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