Бакалавриат
  1. Алгебра  1.1. Линейная алгебра  1.1.1. Матрицы  1.1.2. Определители  1.1.3. Системы линейных уравнений  1.1.4. Понимание векторных пространств в линейной алгебре  1.1.5. Линейные преобразования  1.1.6. Собственные значения и собственные векторы  1.1.7. Диагонализация  1.1.8. Внутреннее пространственное произведение  1.1.9. Ортогональность и ортонормированный базис  1.1.10. Сингулярное разложение  1.2. Абстрактная алгебра  1.2.1. Группа  1.2.2. Подгруппы  1.2.3. Циклические группы  1.2.4. Группа перестановок  1.2.5. Гомеоморфизм  1.2.6. Нормальные подгруппы  1.2.7. Введение в кольца в абстрактной алгебре  1.2.8. Поле  1.2.9. Идеалы и фактор-кольца  1.2.10. Кольца многочленов  1.2.11. Векторное пространство над полем  1.2.12. Модуль  1.2.13. Введение в теорию Галуа
  2. Расчеты  2.1. Дифференциальное исчисление  2.1.1. Понимание пределов в дифференциальном исчислении  2.1.2. Понимание континуума в дифференциальном исчислении  2.1.3. Производные  2.1.4. Понимание правила цепочки в дифференциальном исчислении  2.1.5. Неявное дифференцирование  2.1.6. Приложения производных  2.1.7. Задачи оптимизации  2.1.8. Понимание теоремы о среднем значении  2.2. Интегральное исчисление  2.2.1. Определенный интеграл  2.2.2. Неопределенный интеграл  2.2.3. Методы интеграции  2.2.4. Неправильные интегралы  2.2.5. Применение интеграла  2.2.6. Длина дуги и площадь поверхности  2.3. Многомерное исчисление  2.3.1. Частная производная  2.3.2. Градиент в многомерном исчислении  2.3.3. Дивергенция и ротор  2.3.4. Введение в множественное интегрирование  2.3.5. Понимание линейных интегралов  2.3.6. Поверхностные интегралы  2.3.7. Объяснение теоремы Грина  2.3.8. Теорема Стокса  2.3.9. Теорема о дивергенции  2.3.10. Якобиан
  3. Дифференциальные уравнения  3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  3.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  3.1.2. Дифференциальные уравнения высшего порядка  3.1.3. Системы дифференциальных уравнений  3.1.4. Решение в виде ряда  3.1.5. Численные методы для ОДУ  3.2. Уравнения в частных производных  3.2.1. Понимание уравнения теплопроводности  3.2.2. Уравнение волны  3.2.3. Уравнение Лапласа  3.2.4. Разделение переменных  3.2.5. Методы преобразования Фурье в уравнениях с частными производными
  4. Реальный анализ  4.1. Последовательности и ряды  4.1.1. Сходимость последовательностей  4.1.2. Тестирование рядов  4.1.3. Степенной ряд  4.1.4. Равномерная сходимость  4.2. Функции действительных переменных  4.2.1. Пределы и непрерывность  4.2.2. Понимание равномерной непрерывности  4.2.3. Дифференцирование функций действительных переменных  4.2.4. Интегрирование по Риману  4.2.5. Интеграл Лебега
  5. Введение в комплексный анализ  5.1. Комплексные числа  5.1.1. Полярная форма  5.1.2. Экспоненциальная форма в комплексных числах  5.2. Функции комплексной переменной  5.2.1. Аналитические функции  5.2.2. Уравнения Коши–Римана  5.2.3. Контурные интегралы  5.2.4. Теорема Коши о интеграции  5.2.5. Теорема о вычетах в комплексном анализе  5.2.6. Конформное отображение
  6. Вероятность и статистика  6.1. Теория вероятностей  6.1.1. Основные концепции вероятности  6.1.2. Случайные величины  6.1.3. Понимание вероятностных распределений  6.1.4. Ожидание и вариация  6.1.5. Условная вероятность и теорема Байеса  6.2. Фигуры  6.2.1. Описательная статистика  6.2.2. Инференциальная статистика  6.2.3. Проверка гипотез  6.2.4. Регрессионный анализ  6.2.5. Понимание ANOVA: анализ дисперсии
  7. Численные методы  7.1. Алгоритм нахождения корней  7.2. Численное интегрирование  7.3. Численное дифференцирование  7.4. Численные решения дифференциальных уравнений  7.5. Вычисления с матрицами  7.6. Интерполяция и экстраполяция
  8. Введение в дискретную математику  8.1. Аргументы и доказательства  8.2. Компаньонство  8.3. Теория графов  8.4. Алгебра логики  8.5. Рекуррентное соотношение
  9. Линейное программирование и оптимизация  9.1. Понимание метода симплекс в линейном программировании и оптимизации  9.2. Двойственность в линейном программировании и оптимизации  9.3. Целочисленное программирование  9.4. Нелинейная оптимизация
  10. Понимание топологии: путешествие по формам и пространствам  10.1. Метрик пространство  10.2. Топологические пространства  10.3. Непрерывность и гомеоморфизмы  10.4. Плотность  10.5. Ассоциативность в топологии
  11. Введение в геометрию  11.1. Евклидова геометрия  11.2. Дифференциальная геометрия  11.3. Неевклидова геометрия  11.4. Проективная геометрия
  12. Математическая физика  12.1. Ряд Фурье  12.2. Преобразование Лапласа  12.3. Применение дифференциальных уравнений  12.4. Специальные функции
  13. Теория множеств и логика  13.1. Множества и подмножества  13.2. Отношения и функции  13.3. Понимание мощности в теории множеств и логике  13.4. Понимание формальной логики в теории множеств и логике  13.5. Теория множества Цермело-Френкеля
  14. Введение в функциональный анализ  14.1. Стандартная локация  14.2. Банаховы пространства  14.3. Понимание пространства Гильберта в функциональном анализе  14.4. Линейные операторы

Бакалавриат → Введение в геометрию ↓


Неевклидова геометрия


В мире геометрии существует увлекательная и сложная вселенная, известная как неевклидова геометрия. Эта область исследует сценарии, в которых привычные правила и принципы евклидовой геометрии неприменимы. Неевклидова геометрия появилась как значимое открытие в истории математики, бросая вызов классическим понятиям и открывая новые перспективы понимания формы и структуры пространства.

Понимание основ

Прежде чем углубляться в неевклидову геометрию, важно знать, что такое евклидова геометрия. Названная в честь древнегреческого математика Евклида, этот тип геометрии занимается свойствами и соотношениями точек, прямых, поверхностей и тел в плоском, двумерном пространстве. Наиболее известное произведение Евклида, «Начала», изложило пять основных принципов, на которых основана евклидова геометрия:

  1. Линия может быть проведена между любыми двумя точками.
  2. Конечная линия может быть продлена на неопределённое расстояние по прямой линии.
  3. Круг может быть описан с любым центром и радиусом.
  4. Все прямые углы равны.
  5. Если две линии пересекаются третьей линией таким образом, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше двух прямых углов, то если эти две линии продлены на достаточно большое расстояние, они обязательно пересекутся на этой стороне. (Постулат параллельных)

Теория параллельности

Пятый принцип, известный как принцип параллельности, может показаться немного сложным, но он играет ключевую роль в различении евклидовой геометрии от неевклидовой геометрии. По сути, принцип утверждает, что через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной. Эта идея настолько укоренилась в евклидовой геометрии, что веками математики считали её универсальной истиной.

Рождение неевклидовой геометрии

Неевклидова геометрия возникла, когда математики начали ставить под сомнение необходимость принципа параллельности. Этот поиск привел к созданию альтернативных геометрических структур, где принцип параллельности не действует. К ним относятся:

  • Гиперболическая геометрия: Здесь, через данную точку, не лежащую на прямой, можно провести бесконечно много прямых, которые не пересекаются с данной прямой. Это создает вселенную с постоянной отрицательной кривизной.
  • Эллиптическая геометрия: В этой структуре через точку, не лежащую на прямой, нет ни одной прямой, которая не пересекалась бы с данной прямой. Это можно представить как постоянную положительную кривизну.

Визуальный пример: евклидовы и гиперболические линии

Евклидовы параллели Гиперболическая линия Гиперболическая линия

Исследование гиперболической геометрии

Гиперболическая геометрия представляет собой вселенную, где внутренние углы треугольников всегда меньше 180 градусов. Вы можете визуализировать гиперболическое пространство как поверхность, похожую на седло, где линии расходятся друг от друга по мере расширения. Эта модель стала известной благодаря работам Николая Лобачевского и Яноша Бойяи.

В гиперболической геометрии появляются некоторые интересные свойства:

  • Сумма углов треугольника: Сумма углов в треугольнике меньше 180 градусов.
  • Параллельные линии: Из данной внешней точки можно провести более чем одну линию, параллельную данной линии.
Сумма углов треугольника: A + B + C < 180°

Визуализация эллиптической геометрии

Эллиптическая геометрия, с другой стороны, предлагет сферу, где линии в конечном итоге сходятся. Классический способ увидеть это — представить поверхность сферы. Здесь каждая "линия" изгибается, чтобы встретиться с самой собой, а сумма углов треугольника больше 180 градусов. Эта эллиптическая геометрия была интенсивно разработана такими математиками, как Бернхард Риман, и часто встречается в моделях с положительной кривизной пространства.

Ключевые эффекты эллиптической геометрии включают:

  • Сумма углов треугольника: Сумма углов в треугольнике больше 180 градусов.
  • Параллельные линии: В принципе, нет параллельных линий, так как все линии в конечном итоге пересекаются друг с другом.
Сумма углов треугольника: A + B + C > 180°

Последствия и приложения

Неевклидова геометрия имеет далеко идущие последствия, выходящие за пределы абстрактной математики. Она является основой для релятивистской физики, в частности, теории общей относительности, разработанной Альбертом Эйнштейном. Согласно этой теории, само пространство не является евклидовым, и наличие массы и энергии искривляет пространство-время в неевклидовые конфигурации, влияя на движение объектов в пространстве.

Неевклидова геометрия также имеет применения в различных областях:

  • Искусство и архитектура: Художники и архитекторы используют неевклидовы концепции для создания впечатляющих структур и визуалов.
  • Навигация: Концепции эллиптической геометрии необходимы для понимания кривизны Земли в глобальных навигационных системах.
  • Компьютерные науки: Алгоритмы для обработки больших объемов данных часто выигрывают от понимания гиперболических пространств, где данные имеют тенденцию кластеризоваться более естественно.

Дальнейшее изучение моделей

В дополнение к гиперболическим и эллиптическим моделям существуют другие конструкции, позволяющие визуализировать и исследовать неевклидову геометрию. К ним относятся модель Пуанкаре и модель Бельтрами-Кляйна. Эти модели помогают направлять наше понимание, предоставляя конкретные способы изучения бесконечной сложности и красоты неевклидовых пространств.

Математики и ученые исследуют эти модели, чтобы лучше понять их свойства. Например, модель Пуанкаре представляет всю гиперболическую плоскость в пределах конечного круга, который сохраняет углы, но искажает расстояния. На ней можно изобразить геодезические линии (эквивалент прямых линий в неевклидовых пространствах) как дуги, которые выглядят совсем не так, как прямые линии в евклидовой системе.

Заключение

Сегодня неевклидова геометрия остается важной областью математической науки, где творческие теории встречаются с практическими приложениями, перекраивая наше понимание природы вселенной. Выходя за рамки традиционных теорий, неевклидовы конструкции бросают вызов установленным взглядам и продолжают вдохновлять на беспрецедентные прорывы в различных дисциплинах. Хотя мы движемся к более сложным областям реальности, значение неевклидовой геометрии в расширении границ человеческого понимания нельзя недооценивать.


Бакалавриат → 11.3


U
username
0%
завершено в Бакалавриат

← предыдущая (11.2)
Дифференциальная геометрия
следующая (11.4) →
Проективная геометрия

комментарии 



Неевклидова геометрия

https://www.buddymath.com/ug/11.3?bmal=ru