微分幾何学

微分幾何学は、解析学や代数学の手法を用いて幾何学の問題を研究する数学の一分野です。主に曲線、曲面、およびそれらの高次元類似物のような幾何学的オブジェクトを扱います。現代物理学、特に相対論や量子力学の理論において基本的なものであり、コンピュータグラフィックス、コンピュータ支援設計、ロボティクスにも大いに利用されています。

曲線の理解

曲線の概念から始めましょう。曲線は本質的に多次元空間における一次元のオブジェクトです。この概念を理解するために、道を歩いていると想像してください。あなたの歩行は特定の空間内で曲線をたどることを表しています。数学的には、曲線をパラメトリック方程式の集合として定義することがよくあります：

x = f(t)
y = g(t)

ここで、tはパラメーターです。tが変化すると、関数fとgが定義する点(x, y)が曲線の経路を描きます。

接ベクトル

どんな曲線のどんな点においても、曲線が進む方向を考慮することは有用です。これは接ベクトルによって表されます。空間における曲線がベクトル関数で与えられる場合：

r(t) = (x(t), y(t), z(t))

与えられた点での接ベクトルは、パラメーターtに関する導関数として定義されます：

r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))

2次元において、曲線の位置関数が以下である場合：

r(t) = (f(t), g(t))

接ベクトルT(t)は次のように求められます：

t(t) = (f'(t), g'(t))

曲面の探求

曲線が一次元であるのに対し、曲面は二次元です。曲面は、ドラムの皮や球の表面のような形状として考えることができます。曲面を数学的に表現する方法は多数ありますが、一般的な方法はパラメトリック形式を用いることです。

パラメトリック表現

曲面は位置ベクトルR(u, v)によって定義され、uとvはパラメーターです。例：

r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

シンプルな例として、半径rの球を角度θおよびφ（シータとファイ）でパラメーター化したものを考えます：

x = r sin(φ) cos(θ)
y = r sin(φ) sin(θ)
z = r cos(φ)

これは、2D平面上の点（パラメーターθおよびφを持つ）が3D球の表面上の点に対応します。

法線ベクトル

曲線において接ベクトルが重要であるのと同様に、曲面を理解するためには法線ベクトルが不可欠です。法線ベクトルは特定の点で表面に垂直です。コンピュータグラフィックスでは、表面から光が反射する方法を決定する上で重要です。

点(u, v)での表面に対する法線ベクトルNを見つけるためには、偏微分のクロス積を計算します：

n = ∂R/∂u × ∂R/∂v

ここで、パラメトリック方程式から導かれるベクトルのクロス積が、表面に垂直なベクトルを生み出します。

曲率

曲率は、曲線が直線であることからどれだけ逸脱しているか、または曲面が平坦であることからどれだけ逸脱しているかを測る尺度です。直線は曲率ゼロであり、円や球はそうではありません。曲率を理解することが微分幾何学の鍵です。

曲線の曲率

ベクトル関数R(t)で定義される曲線に対する曲率Kは次のように与えられます：

k(t) = |dt/ds|

ここで、Tは単位接ベクトル、sは弧長です。

測地曲率

曲面上では、測地線は2点間の最短距離に相当し、ユークリッド空間の直線に似ています。測地曲率は、曲面上の曲線が測地線であることからどれだけ逸脱するかを測定します。

曲面R(u, v)に対して、曲線のパラメトリック方程式がu(t)およびv(t)である場合、測地曲率Kgは以下によって与えられます：

kilogram = t'•n

ここで、T'は測地線の方向に沿った接ベクトルの変化率であり、Nは表面の法線ベクトルです。

曲面の曲率

曲線の曲率と同様に、曲面にも主曲率と呼ばれる2つの主要な方向があります。これらは、表面の最大および最小の曲率として見ることができます。

ガウス曲率は、これら2つの主曲率の積であり、表面の内在的曲率の尺度を提供します：

k = k1 * k2

ここで、K1およびK2は主曲率です。球は正のガウス曲率を持ち、鞍型の形状は負のガウス曲率を持ち、平面はゼロのガウス曲率を持ちます。