Бакалавриат
  1. Алгебра  1.1. Линейная алгебра  1.1.1. Матрицы  1.1.2. Определители  1.1.3. Системы линейных уравнений  1.1.4. Понимание векторных пространств в линейной алгебре  1.1.5. Линейные преобразования  1.1.6. Собственные значения и собственные векторы  1.1.7. Диагонализация  1.1.8. Внутреннее пространственное произведение  1.1.9. Ортогональность и ортонормированный базис  1.1.10. Сингулярное разложение  1.2. Абстрактная алгебра  1.2.1. Группа  1.2.2. Подгруппы  1.2.3. Циклические группы  1.2.4. Группа перестановок  1.2.5. Гомеоморфизм  1.2.6. Нормальные подгруппы  1.2.7. Введение в кольца в абстрактной алгебре  1.2.8. Поле  1.2.9. Идеалы и фактор-кольца  1.2.10. Кольца многочленов  1.2.11. Векторное пространство над полем  1.2.12. Модуль  1.2.13. Введение в теорию Галуа
  2. Расчеты  2.1. Дифференциальное исчисление  2.1.1. Понимание пределов в дифференциальном исчислении  2.1.2. Понимание континуума в дифференциальном исчислении  2.1.3. Производные  2.1.4. Понимание правила цепочки в дифференциальном исчислении  2.1.5. Неявное дифференцирование  2.1.6. Приложения производных  2.1.7. Задачи оптимизации  2.1.8. Понимание теоремы о среднем значении  2.2. Интегральное исчисление  2.2.1. Определенный интеграл  2.2.2. Неопределенный интеграл  2.2.3. Методы интеграции  2.2.4. Неправильные интегралы  2.2.5. Применение интеграла  2.2.6. Длина дуги и площадь поверхности  2.3. Многомерное исчисление  2.3.1. Частная производная  2.3.2. Градиент в многомерном исчислении  2.3.3. Дивергенция и ротор  2.3.4. Введение в множественное интегрирование  2.3.5. Понимание линейных интегралов  2.3.6. Поверхностные интегралы  2.3.7. Объяснение теоремы Грина  2.3.8. Теорема Стокса  2.3.9. Теорема о дивергенции  2.3.10. Якобиан
  3. Дифференциальные уравнения  3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  3.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  3.1.2. Дифференциальные уравнения высшего порядка  3.1.3. Системы дифференциальных уравнений  3.1.4. Решение в виде ряда  3.1.5. Численные методы для ОДУ  3.2. Уравнения в частных производных  3.2.1. Понимание уравнения теплопроводности  3.2.2. Уравнение волны  3.2.3. Уравнение Лапласа  3.2.4. Разделение переменных  3.2.5. Методы преобразования Фурье в уравнениях с частными производными
  4. Реальный анализ  4.1. Последовательности и ряды  4.1.1. Сходимость последовательностей  4.1.2. Тестирование рядов  4.1.3. Степенной ряд  4.1.4. Равномерная сходимость  4.2. Функции действительных переменных  4.2.1. Пределы и непрерывность  4.2.2. Понимание равномерной непрерывности  4.2.3. Дифференцирование функций действительных переменных  4.2.4. Интегрирование по Риману  4.2.5. Интеграл Лебега
  5. Введение в комплексный анализ  5.1. Комплексные числа  5.1.1. Полярная форма  5.1.2. Экспоненциальная форма в комплексных числах  5.2. Функции комплексной переменной  5.2.1. Аналитические функции  5.2.2. Уравнения Коши–Римана  5.2.3. Контурные интегралы  5.2.4. Теорема Коши о интеграции  5.2.5. Теорема о вычетах в комплексном анализе  5.2.6. Конформное отображение
  6. Вероятность и статистика  6.1. Теория вероятностей  6.1.1. Основные концепции вероятности  6.1.2. Случайные величины  6.1.3. Понимание вероятностных распределений  6.1.4. Ожидание и вариация  6.1.5. Условная вероятность и теорема Байеса  6.2. Фигуры  6.2.1. Описательная статистика  6.2.2. Инференциальная статистика  6.2.3. Проверка гипотез  6.2.4. Регрессионный анализ  6.2.5. Понимание ANOVA: анализ дисперсии
  7. Численные методы  7.1. Алгоритм нахождения корней  7.2. Численное интегрирование  7.3. Численное дифференцирование  7.4. Численные решения дифференциальных уравнений  7.5. Вычисления с матрицами  7.6. Интерполяция и экстраполяция
  8. Введение в дискретную математику  8.1. Аргументы и доказательства  8.2. Компаньонство  8.3. Теория графов  8.4. Алгебра логики  8.5. Рекуррентное соотношение
  9. Линейное программирование и оптимизация  9.1. Понимание метода симплекс в линейном программировании и оптимизации  9.2. Двойственность в линейном программировании и оптимизации  9.3. Целочисленное программирование  9.4. Нелинейная оптимизация
  10. Понимание топологии: путешествие по формам и пространствам  10.1. Метрик пространство  10.2. Топологические пространства  10.3. Непрерывность и гомеоморфизмы  10.4. Плотность  10.5. Ассоциативность в топологии
  11. Введение в геометрию  11.1. Евклидова геометрия  11.2. Дифференциальная геометрия  11.3. Неевклидова геометрия  11.4. Проективная геометрия
  12. Математическая физика  12.1. Ряд Фурье  12.2. Преобразование Лапласа  12.3. Применение дифференциальных уравнений  12.4. Специальные функции
  13. Теория множеств и логика  13.1. Множества и подмножества  13.2. Отношения и функции  13.3. Понимание мощности в теории множеств и логике  13.4. Понимание формальной логики в теории множеств и логике  13.5. Теория множества Цермело-Френкеля
  14. Введение в функциональный анализ  14.1. Стандартная локация  14.2. Банаховы пространства  14.3. Понимание пространства Гильберта в функциональном анализе  14.4. Линейные операторы

Бакалавриат → Введение в геометрию ↓


Евклидова геометрия


Евклидова геометрия — это математическая система, приписываемая древнегреческому математику Евклиду, который изложил её в своём труде "Начала" около 300 г. до н.э. Эта форма геометрии касается плоских поверхностей и является основой нашего понимания физического мира. Она исследует точки, линии, углы, поверхности и формы, такие как треугольники, прямоугольники и окружности.

Основные понятия и определения

Прежде чем углубляться, давайте разберём основные понятия евклидовой геометрии.

Точки и линии

Точка обозначает местоположение в пространстве. Она не имеет формы или размеров. На диаграммах мы представляем точки с помощью точек и обозначаем их заглавными буквами, как например A или B

Прямая линия — это прямая, которая простирается в бесконечность в двух направлениях. Она имеет одно измерение — длину, но не имеет толщины. На диаграммах мы обычно представляем линии с помощью прямой и стрелок на обоих концах, обозначая их маленькими буквами, как линия l, или двумя точками на линии, как линия AB.

Плоскость

Плоскость — это плоская двумерная поверхность, которая простирается бесконечно во всех направлениях. Она визуализируется как плоский лист, который никогда не заканчивается, как кусок бумаги. Мы часто обозначаем плоскости греческими буквами, такими как плоскость α.

Углы

Угол образуется двумя лучами (сторонами угла), имеющими общую конечную точку (вершину). Углы описывают градусы поворота от одного луча к другому.

Практические примеры, измеряемые в градусах (°), включают прямые углы (90°), острые углы (меньше 90°) и тупые углы (больше 90°).

ABC

Диаграмма показывает угол ∠ABC с вершиной A

Треугольник

Треугольники — это многоугольники с тремя сторонами, и они играют важную роль в евклидовой геометрии. Типы треугольников определяются длинами сторон и внутренними углами.

Типы треугольников

  • Равносторонний треугольник: Все стороны и углы равны, каждый угол равен 60°.
  • Равнобедренный треугольник: Две стороны и углы, противоположные им, равны.
  • Разносторонний треугольник: Все стороны и углы имеют разные размеры.

Сумма внутренних углов любого треугольника равна 180°.

ABC

Это треугольник ΔABC, где сумма углов ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Окружности

Окружность — это множество всех точек на плоскости, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной точки, называемой центром. Основные части включают радиус, диаметр и окружность.

Части окружности

  • Центр: Точка, от которой измеряются расстояния.
  • Радиус: Расстояние от центра окружности до любой точки.
  • Диаметр: Самая длинная дистанция через окружность, вдвое больше радиуса.
  • Окружность: Расстояние вокруг окружности, определяемое формулой C = 2πr.
OA

Отрезок OA — это радиус, где O — центр, а A — точка на окружности.

Основные теоремы и постулаты

Евклидова геометрия основана на постулатах или аксиомах (предполагаемых истинах) и теоремах (доказанных утверждениях).

Принципы Евклида

Пять постулатов Евклида являются основой евклидовой геометрии:

  1. Прямая линия может быть проведена через любые две точки.
  2. Конечная линия может быть бесконечно продолжена в обоих направлениях.
  3. Окружность может быть проведена с любым центром и радиусом.
  4. Все прямые углы равны.
  5. Если линия пересекает две линии, образуя внутренний угол меньше 180°, то эти две линии в конце концов встретятся с той стороны, где угол меньше 180°.

Теорема Пифагора

Для прямоугольных треугольников квадрат длины гипотенузы (стороны, противолежащей прямому углу) равен сумме квадратов других двух сторон:

a² + b² = c²
ABC

Для треугольника ΔABC, если ∠C прямоугольный, то a² + b² = c², где c — гипотенуза.

Сходство и равенство

Сходство

Две фигуры подобны, если они имеют одинаковую форму, но не обязательно одинаковый размер. Соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Равенство

Две фигуры конгруэнтны, если они имеют одинаковую форму и размер. Все соответствующие стороны и углы равны.

Применение евклидовой геометрии

Несмотря на своё древнее происхождение, евклидова геометрия имеет множество современных приложений:

  • Архитектура: Проектирование зданий и сооружений, чтобы обеспечить их устойчивость и соответствие пространственным требованиям.
  • Искусство: Рисование и живопись для измерения перспективы, пропорции и симметрии.
  • Навигация: Используется в картографии и установлении координат и границ.

Заключение

Евклидова геометрия с её аксиоматическим подходом и логической структурой не только исторически важна, но и составляет основу многих современных математических отраслей и методов. Её принципы продолжают вдохновлять и решать реальные проблемы, доказывая её вечную актуальность.


Бакалавриат → 11.1


U
username
0%
завершено в Бакалавриат

← предыдущая (11)
Введение в геометрию
следующая (11.2) →
Дифференциальная геометрия

комментарии 



Евклидова геометрия

https://www.buddymath.com/ug/11.1?bmal=ru