Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Geometria euclidiana


A geometria euclidiana é um sistema matemático atribuído ao antigo matemático grego Euclides, que o introduziu em seu trabalho "Os Elementos" por volta de 300 a.C. Essa forma de geometria trata de superfícies planas e é fundamental para a nossa compreensão do mundo físico. Ela explora pontos, linhas, ângulos, superfícies e formas como triângulos, retângulos e círculos.

Conceitos básicos e definições

Antes de nos aprofundarmos, vamos entender alguns conceitos básicos da geometria euclidiana.

Pontos e linhas

Um ponto refere-se a uma localização no espaço. Não tem forma nem dimensões. Nos diagramas, representamos pontos usando pontos e os rotulamos com letras maiúsculas, como A ou B

Uma linha é um caminho reto que se estende até o infinito em duas direções. Ela tem uma dimensão, comprimento, mas não tem espessura. Nos diagramas, geralmente representamos linhas com uma linha reta e setas em ambas as extremidades, rotuladas por letras minúsculas, como a linha l, ou por dois pontos na linha, como a linha AB.

Plano

Um plano é uma superfície plana bidimensional que se estende infinitamente em todas as direções. É visualizado como uma folha plana, como uma folha de papel, que nunca termina. Muitas vezes rotulamos planos com letras gregas, como o plano α.

Ângulos

Um ângulo é formado por dois raios (os lados do ângulo) que compartilham um ponto comum (o vértice). Ângulos descrevem os graus de rotação de um raio para o outro.

Exemplos práticos medidos em graus (°) incluem ângulos retos (90°), ângulos agudos (menores que 90°) e ângulos obtusos (maiores que 90°).

ABC

O diagrama mostra o ângulo ∠ABC com vértice A

Triângulo

Triângulos são polígonos com três lados e desempenham um papel importante na geometria euclidiana. Os tipos de triângulos são determinados pelo comprimento dos lados e os ângulos internos.

Tipos de triângulos

  • Triângulo equilátero: Todos os lados e ângulos são iguais, cada ângulo é de 60°.
  • Triângulo isósceles: Dois lados e os ângulos opostos a eles são iguais.
  • Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos têm medidas diferentes.

A soma dos ângulos internos em qualquer triângulo é igual a 180°.

ABC

Este é um triângulo ΔABC, onde a soma dos ângulos ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Círculos

Um círculo é o conjunto de todos os pontos em um plano que estão equidistantes de um ponto fixo chamado centro. As partes essenciais incluem o raio, diâmetro e circunferência.

Partes de um círculo

  • Centro: O ponto fixo a partir do qual as distâncias são medidas.
  • Raio: A distância do centro do círculo a qualquer ponto.
  • Diâmetro: A maior distância através de um círculo, o dobro do raio.
  • Circunferência: A distância ao redor de um círculo, dada pela fórmula C = 2πr.
OA

A linha OA é o raio, onde O é o centro, e A é um ponto no círculo.

Principais teoremas e postulados

A geometria euclidiana é baseada em postulados ou axiomas (verdades assumidas) e teoremas (declarações provadas).

Princípios de Euclides

Os cinco postulados de Euclides são a base da geometria euclidiana:

  1. Uma linha reta pode ser desenhada unindo quaisquer dois pontos.
  2. Uma linha finita pode ser estendida infinitamente em ambas as direções.
  3. Um círculo pode ser desenhado com qualquer centro e raio.
  4. Todos os ângulos retos são iguais.
  5. Se uma linha intercepta duas linhas formando um ângulo interno menor que 180°, então essas duas linhas eventualmente se encontrarão no lado onde o ângulo é menor que 180°.

Teorema de Pitágoras

Para triângulos retos, o quadrado do comprimento da hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados:

a² + b² = c²
ABC

Para o triângulo ΔABC, se ∠C é reto, então a² + b² = c² onde c é a hipotenusa.

Similaridade e congruência

Igualdade

Duas figuras são semelhantes se tiverem a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho. Ângulos correspondentes são iguais e lados correspondentes são proporcionais.

Conformidade

Duas figuras são congruentes se tiverem a mesma forma e tamanho. Todos os lados e ângulos correspondentes são iguais.

Aplicações da geometria euclidiana

Apesar de suas origens antigas, a geometria euclidiana tem muitas aplicações modernas:

  • Arquitetura: O design de edifícios e estruturas para garantir que permaneçam de pé e atendam aos requisitos espaciais.
  • Arte: Desenho e pintura medem perspectiva, proporção e simetria.
  • Navegação: Usado na cartografia e no estabelecimento de coordenadas e limites.

Conclusão

A geometria euclidiana, com sua abordagem axiomática e estrutura lógica, não é apenas historicamente importante, mas também forma a espinha dorsal de muitos ramos e métodos matemáticos modernos. Seus princípios continuam a inspirar e resolver problemas do mundo real, provando sua eterna relevância.


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