ユークリッド幾何学

ユークリッド幾何学は古代ギリシャの数学者ユークリッドに由来する数学体系であり、彼の著作「原論」において紀元前300年頃に導入されました。この形態の幾何学は平坦な面を扱い、物理的世界の理解の基礎となっています。点、線、角度、面、および三角形、長方形、円などの形状を探求します。

基本概念と定義

さらに深く掘り下げる前に、ユークリッド幾何学のいくつかの基本概念を理解しましょう。

点と線

点は空間内の位置を指します。それには形もサイズもありません。図では、点をドットで表し、大文字のアルファベット（AやBなど）でラベル付けします。

線は、二つの方向に無限に延びるまっすぐな経路です。それには一つの次元、長さはありますが、厚さはありません。図では通常、直線と両端に矢印を描き、小文字（例えば、線l）やその線上の二つの点（例えば、線AB）でラベル付けします。

平面

平面は、すべての方向に無限に広がる二次元の平坦な面です。それは決して終わらないフラットなシート、例えば紙のように視覚化されます。通常、平面にはギリシャ文字でラベルを付けます。例えば、平面αです。

角度

角度は共通の端点（頂点）を共有する二つの線（角の側）によって形成されます。角度は一つの線から他の線までの回転の度合いを記述します。

度（°）で測定された実践的な例には、直角（90°）、鋭角（90°未満）、鈍角（90°を超える）があります。

図は頂点Aを持つ角∠ABCを示しています。

三角形

三角形は三つの辺を持つ多角形であり、ユークリッド幾何学において重要な役割を果たします。三角形の種類は辺の長さと内部の角度によって決まります。

三角形の種類

正三角形：すべての辺と角が等しく、各角は60°です。
二等辺三角形：二つの辺とそれに対する角が等しい。
不等辺三角形：すべての辺と角が異なる測度を持ちます。

どの三角形でも内部の角の合計は180°です。

これは三角形ΔABCであり、角∠A + ∠B + ∠C = 180°の合計です。

円

円は平面内で固定された点（中心）から等距離にあるすべての点の集合です。主要な部分には半径、直径、円周があります。

円の部分

中心：距離が測定される固定された点です。
半径：円の中心から任意の点までの距離です。
直径：円を横切る最長の距離で、半径の2倍です。
円周：円の周囲の距離で、公式C = 2πrによって表されます。

線OAは半径であり、Oは中心、Aは円上の点です。

主な定理と公理

ユークリッド幾何学は公理（仮定された真実）および定理（証明された命題）に基づいています。

ユークリッドの原理

ユークリッドの五つの公理はユークリッド幾何学の基盤です：

任意の二点を結ぶ直線を引くことができる。
有限の線を無限に両方向に延長できる。
任意の中心と半径で円を描くことができる。
すべての直角は等しい。
ある線が二つの線と交差し、内部角が180°未満の場合、これらの二つの線はその角が180°未満の側で最終的に交わる。

ピタゴラスの定理

直角三角形において、斜辺（直角に対する辺）の長さの二乗は他の二辺の二乗の和に等しいです：

a² + b² = c²

三角形ΔABCの∠Cが直角ならば、a² + b² = c²であり、cは斜辺です。

相似と合同

同等

二つの図形は形状が同じでサイズが必ずしも同じでない場合、相似です。対応する角は等しく、対応する辺は比例します。

一致

二つの図形は形状とサイズが同じ場合、合同です。すべての対応する辺と角度は等しいです。