यूक्लिडीय ज्यामिति

यूक्लिडीय ज्यामिति एक गणितीय प्रणाली है जिसका श्रेय प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड को दिया जाता है, जिन्होंने इसे लगभग 300 ईसा पूर्व अपने कार्य "एलीमेंट्स" में प्रस्तुत किया। इस प्रकार की ज्यामिति समतल सतहों से संबंधित है और हमारे भौतिक विश्व की समझ में मौलिक है। यह बिंदुओं, रेखाओं, कोणों, सतहों, और त्रिभुजों, आयतों, और वृत्तों जैसी आकृतियों का अन्वेषण करती है।

मूलभूत अवधारणाएँ और परिभाषाएँ

गहराई में जाने से पहले, आइए यूक्लिडीय ज्यामिति की कुछ मूलभूत अवधारणाओं को समझें।

बिंदु और रेखाएं

एक बिंदु अंतरिक्ष में एक स्थान को संदर्भित करता है। इसका कोई आकार या आयाम नहीं होता। आरेखों में, हम बिंदुओं को बिंदुओं के रूप में प्रदर्शित करते हैं और उन्हें A या B जैसे बड़े अक्षरों से लेबल करते हैं।

एक रेखा एक सीधा पथ है जो दो दिशाओं में अनंत तक विस्तारित होता है। इसका एक आयाम, लंबाई, होती है, लेकिन कोई मोटाई नहीं। आरेखों में, हम आमतौर पर रेखाओं को सीधे रेखा और दोनों सिरों पर तीरों के द्वारा प्रदर्शित करते हैं, जिन्हें छोटे अक्षरों जैसे रेखा l, या रेखा पर दो बिंदुओं से, जैसे रेखा AB, द्वारा लेबल किया जाता है।

समतल

एक समतल एक समतल, द्वि-आयामी सतह है जो सभी दिशाओं में अनंत तक विस्तारित होती है। इसे एक समतल पत्रक के रूप में देखा जा सकता है, जैसे एक कागज का टुकड़ा, जो कभी समाप्त नहीं होता। हम अक्सर समतलों को ग्रीक अक्षरों जैसे समतल α से लेबल करते हैं।

कोण

एक कोण दो किरणों (कोण की भुजाएं) के द्वारा साझा किए गए एक सामान्य बिंदु (शीर्ष) द्वारा गठित होता है। कोण एक किरण से दूसरी किरण की दिशा में घुमाव की डिग्री का वर्णन करते हैं।

डिग्री (°) में मापे गए व्यावहारिक उदाहरणों में समकोण (90°), तीव्र कोण (90° से कम), और व्यापक कोण (90° से अधिक) शामिल हैं।

आरेख कोण ∠ABC को दर्शाता है जिसमें शीर्ष A है

त्रिभुज

त्रिभुज वे बहुभुज होते हैं जिनकी तीन भुजाएं होती हैं, और वे यूक्लिडीय ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। त्रिभुजों के प्रकार भुजाओं की लंबाई और आंतरिक कोणों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

त्रिभुजों के प्रकार

समबाहु त्रिभुज: सभी भुजाएँ और कोण समान होते हैं, प्रत्येक कोण 60° होता है।
समद्विबाहु त्रिभुज: दो भुजाएँ और उनके सामने वाले कोण समान होते हैं।
विषमबाहु त्रिभुज: सभी भुजाएँ और कोण अलग-अलग होते हैं।

किसी भी त्रिभुज में आंतरिक कोणों का योग 180° के बराबर होता है।

यह एक त्रिभुज ΔABC है, जहाँ कोणों का योग ∠A + ∠B + ∠C = 180° है।

वृत्त

एक वृत्त वह बिंदु है जो किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समूह को प्रदर्शित करता है जो एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर होते हैं जिसे केंद्र कहते हैं। इसके महत्वपूर्ण भागों में त्रिज्या, व्यास, और परिधि शामिल हैं।

वृत्त के भाग

केंद्र: वह निश्चित बिंदु जिससे दूरी मापी जाती है।
त्रिज्या: वृत्त के केंद्र से किसी भी बिंदु तक की दूरी।
व्यास: वृत्त के आर-पार की सबसे लंबी दूरी, जो त्रिज्या का दोगुना होती है।
परिधि: वृत्त के चारों ओर की दूरी, जिसे सूत्र C = 2πr द्वारा दिया जाता है।

रेखा OA त्रिज्या है, जहाँ O केंद्र है, और A वृत्त पर एक बिंदु है।

प्रमुख प्रमेय और प्रमेयसूत्र

यूक्लिडीय ज्यामिति उपपत्तियों या स्वीकृत सत्य (माना गया सत्य) और प्रमेय (सिद्ध कथन) पर आधारित है।

यूक्लिड के सिद्धांत

यूक्लिड के पाँच उपपत्तियाँ यूक्लिडीय ज्यामिति का आधार हैं:

किसी भी दो बिंदुओं को मिलाने वाली एक रेखा खींची जा सकती है।
एक सीमित रेखा अनंत तक दोनों दिशाओं में बढ़ाई जा सकती है।
किसी भी केंद्र और त्रिज्या के साथ एक वृत्त खींचा जा सकता है।
सभी समकोण समान होते हैं।
यदि एक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार काटती है कि आंतरिक कोण 180° से कम बनता है, तो वे दो रेखाएँ उसी दिशा में मिलेंगी जहाँ कोण 180° से कम है।

पाइथागोरस प्रमेय

समकोण त्रिभुजों के लिए, कर्ण की लंबाई का वर्ग (समकोण के विपरीत दिशा वाली भुजा) अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है:

a² + b² = c²

त्रिभुज ΔABC के लिए, यदि ∠C समकोणीय है, तो a² + b² = c² जहाँ c कर्ण है।

समानता और समरूपता

समानता

दो आकृतियाँ समान होती हैं यदि उनका आकार समान होता है लेकिन आकार समान नहीं होता। संबंधित कोण समान होते हैं और संबंधित भुजाएँ समानुपाती होती हैं।

समरूपता

दो आकृतियाँ समरूप होती हैं यदि उनका आकार और आकार समान होता है। सभी संबंधित भुजाएँ और कोण समान होते हैं।