Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Geometría euclidiana


La geometría euclidiana es un sistema matemático atribuido al antiguo matemático griego Euclides, quien la introdujo en su obra "Elementos" alrededor del año 300 a.C. Esta forma de geometría trata sobre superficies planas y es fundamental para nuestra comprensión del mundo físico. Explora puntos, líneas, ángulos, superficies y figuras como triángulos, rectángulos y círculos.

Conceptos básicos y definiciones

Antes de profundizar, comprendamos algunos conceptos básicos de la geometría euclidiana.

Puntos y líneas

Un punto se refiere a una ubicación en el espacio. No tiene forma ni dimensiones. En los diagramas, representamos puntos usando puntos y los etiquetamos con letras mayúsculas, como A o B

Una línea es un camino recto que se extiende hasta el infinito en dos direcciones. Tiene una dimensión, longitud, pero no grosor. En los diagramas, representamos líneas con una línea recta y flechas en ambos extremos, etiquetadas con letras minúsculas como la línea l, o con dos puntos en la línea, como la línea AB.

Plano

Un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende infinitamente en todas las direcciones. Se visualiza como una hoja plana, como un trozo de papel, que nunca termina. A menudo etiquetamos planos con letras griegas como el plano α.

Ángulos

Un ángulo se forma por dos rayos (los lados del ángulo) que comparten un punto final común (el vértice). Los ángulos describen los grados de rotación de un rayo a otro.

Los ejemplos prácticos medidos en grados (°) incluyen ángulos rectos (90°), ángulos agudos (menos de 90°) y ángulos obtusos (más de 90°).

ABC

El diagrama muestra el ángulo ∠ABC con vértice A

Triángulo

Los triángulos son polígonos con tres lados, y desempeñan un papel importante en la geometría euclidiana. Los tipos de triángulos están determinados por la longitud de los lados y los ángulos internos.

Tipos de triángulos

  • Triángulo equilátero: Todos los lados y ángulos son iguales, cada ángulo es de 60°.
  • Triángulo isósceles: Dos lados y los ángulos opuestos a ellos son iguales.
  • Triángulo escaleno: Todos los lados y ángulos tienen medidas diferentes.

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°.

ABC

Este es un triángulo ΔABC, donde la suma de los ángulos ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Círculos

Un círculo es el conjunto de todos los puntos en un plano que están equidistantes de un punto fijo llamado el centro. Las partes esenciales incluyen el radio, el diámetro y la circunferencia.

Partes de un círculo

  • Centro: El punto fijo desde el cual se miden las distancias.
  • Radio: La distancia desde el centro del círculo hasta cualquier punto.
  • Diámetro: La mayor distancia a través de un círculo, el doble del radio.
  • Circunferencia: La distancia alrededor de un círculo, dada por la fórmula C = 2πr.
OA

La línea OA es el radio, donde O es el centro, y A es un punto en el círculo.

Teoremas y postulados principales

La geometría euclidiana se basa en postulados o axiomas (verdades asumidas) y teoremas (declaraciones probadas).

Principios de Euclides

Los cinco postulados de Euclides son la base de la geometría euclidiana:

  1. Se puede trazar una línea recta que una cualquier par de puntos.
  2. Una línea finita se puede extender infinitamente en ambas direcciones.
  3. Se puede trazar un círculo con cualquier centro y radio.
  4. Todos los ángulos rectos son iguales.
  5. Si una línea intersecta dos líneas formando un ángulo interior menor a 180°, entonces esas dos líneas eventualmente se encontrarán en el lado donde el ángulo es menor a 180°.

Teorema de Pitágoras

Para triángulos rectángulos, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados:

a² + b² = c²
ABC

Para el triángulo ΔABC, si ∠C es el ángulo recto, entonces a² + b² = c² donde c es la hipotenusa.

Semejanza y congruencia

Igualdad

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño. Los ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes son proporcionales.

Conformidad

Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño. Todos los lados y ángulos correspondientes son iguales.

Aplicaciones de la geometría euclidiana

A pesar de sus orígenes antiguos, la geometría euclidiana tiene muchas aplicaciones modernas:

  • Arquitectura: El diseño de edificios y estructuras para garantizar que se mantengan erguidos y cumplan con los requisitos espaciales.
  • Arte: Dibujo y pintura que miden la perspectiva, proporción y simetría.
  • Navegación: Utilizada en la elaboración de mapas y el establecimiento de coordenadas y límites.

Conclusión

La geometría euclidiana, con su enfoque axiomático y estructura lógica, no solo es históricamente importante, sino que también forma la columna vertebral de muchas ramas y métodos matemáticos modernos. Sus principios continúan inspirando y resolviendo problemas del mundo real, demostrando su relevancia eterna.


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