Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Compacidade é um conceito em topologia, um ramo da matemática que lida com as propriedades do espaço que são preservadas sob transformações contínuas. É um conceito importante com uma ampla gama de aplicações dentro e fora da topologia.

Intuitivamente, a compacidade pode ser pensada como uma propriedade de cobertura finita. Para analisar isso mais a fundo, começamos entendendo como essa noção é formalizada em topologia.

Definições e noções básicas

Em topologia, um espaço é dito compacto se toda cobertura aberta do espaço possui uma subcobertura finita. Vamos entender esses termos:

  • Espaço topológico: Um conjunto X e uma coleção de conjuntos abertos adjacentes a ele que satisfazem alguns axiomas.
  • Cobertura aberta: Uma coleção de conjuntos abertos cuja união contém um espaço X
  • Subcobertura finita: Uma seleção finita de conjuntos abertos de uma cobertura aberta que ainda cobre todo o espaço.

Matematicamente, vamos usar X para denotar um espaço topológico. Uma cobertura aberta de X é uma coleção {U α } α ∈ A tal que ∪ U α = X.

Existe um subconjunto finito {U i1, U i2, ..., U in} tal que: ∪ U ij = X, para j em {i1, i2, ..., in}.

Exemplos de espaços compactos

O exemplo mais simples de um espaço compacto é um intervalo fechado nos números reais, digamos [a, b].

Considere a reta real ℝ. Um subconjunto fechado e limitado [a, b] de ℝ é compacto. Isso é uma consequência do teorema de Heine-Borel, que afirma que um subconjunto de ℝ n é compacto se, e somente se, for fechado e limitado.

Exemplo: Seja [0, 1] um intervalo fechado. Considere uma cobertura aberta consistindo de conjuntos abertos (0, 1/n) para n = 1, 2, 3, ... Uma subcobertura finita disso seria { (0, 1/2), (0, 1/3) }, etc., que cobre [0, 1].
A B

Neste diagrama, você vê o intervalo fechado [a, b], que é compacto porque qualquer cobertura aberta desse intervalo terá uma subcobertura finita que garante que todo o intervalo seja coberto.

Contraexemplo: espaço não compacto

Para compreender melhor a compacidade, também é útil considerar espaços que não são compactos.

Considere o intervalo aberto (0, 1) nos números reais. Ele terá uma cobertura aberta { (0, 1 - 1/n) | n ∈ ℕ }. Aqui, não há subcobertura finita cobrindo todo o intervalo, o que mostra que (0, 1) não é compacto.

Exemplo: (0, 1) não é compacto. Uma cobertura aberta: { (0, 1), (0, 0,9), (0, 0,99), ... } Não pode ser coberto finitamente.
0 1

Neste diagrama, o intervalo (0, 1) é representado em linhas tracejadas e aberto nas extremidades para demonstrar que não pode ser coberto finitamente com qualquer coleção de conjuntos abertos que esteja inteiramente dentro de (0, 1).

Propriedades de espaços compactos

Os espaços compactos exibem várias propriedades úteis e importantes:

  • Fechamento e limitação: Em espaços euclidianos, a compacidade está relacionada ao fechamento e limitação (teorema de Heine–Borel).
  • A imagem contínua de um espaço compacto é compacta: se uma função contínua mapeia um espaço compacto em outro espaço, então a imagem também é compacta.
  • Propriedade da Interseção Finita: Uma família de conjuntos fechados em um espaço compacto com a propriedade da interseção finita tem uma interseção não vazia.

Brevidade e continuidade

Um aspecto fascinante da compacidade é sua interação com funções contínuas. Se f: X → Y é uma função contínua e X é compacto, então f(X) é compacto em Y

Seja X compacto e f: X → Y contínua. Então, f(X) é compacto em Y.

Pode ajudar visualizar isso:

X f(x)

Aqui, o círculo representa o espaço compacto X, e seu mapeamento contínuo para outro espaço também é denotado como compacto.

Propriedade de interseção finita

Os espaços compactos têm a propriedade da interseção finita, o que significa que se você tem uma coleção de conjuntos fechados em um espaço compacto tal que toda interseção finita desses conjuntos é não vazia, então a coleção inteira também terá uma interseção não vazia.

Seja {F α } uma coleção de conjuntos fechados em X (onde X é compacto). Se ∩ F j ≠ ∅ para todo subconjunto finito {F j }, então ∩ F α ≠ ∅.

Aplicações da compacidade

A compacidade é útil em várias áreas da matemática. Uma de suas aplicações é em problemas de otimização, onde a compacidade garante a existência de um máximo ou mínimo de uma função contínua.

Matematicamente, é expresso como:

Seja f: X → ℝ uma função contínua em um espaço compacto X. Então, f atinge um máximo e um mínimo em X.

Isso pode ser visto no exemplo a seguir, onde uma função contínua em um intervalo compacto atinge um máximo e um mínimo:

Min Máximo

A curva azul representa a função, enquanto os círculos verde e vermelho indicam onde ela atinge um mínimo e um máximo, respectivamente, dentro do intervalo compacto.

Conclusão

A compacidade é um conceito central na topologia que dá origem a muitos teoremas e aplicações poderosos. Garantindo que comportamentos infinitos possam ser controlados ou coletados de maneira finita, a compacidade permite que matemáticos e cientistas tirem conclusões importantes em uma variedade de campos matemáticos.


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