Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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La compacidad es un concepto en topología, una rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio que se preservan bajo transformaciones continuas. Es un concepto importante con una amplia gama de aplicaciones dentro y fuera de la topología.

Intuitivamente, la compacidad se puede pensar como una propiedad de cubierta finita. Para analizar esto más a fondo, comenzamos por comprender cómo se formaliza esta noción en topología.

Definiciones y conceptos básicos

En topología, se dice que un espacio es compacto si cada cubierta abierta del espacio tiene una subcubierta finita. Vamos a entender estos términos:

  • Espacio topológico: Un conjunto X y una colección de conjuntos abiertos adyacentes a él que satisfacen algunos axiomas.
  • Cubierta abierta: Una colección de conjuntos abiertos cuya unión contiene un espacio X
  • Subcubierta finita: Una selección finita de conjuntos abiertos de una cubierta abierta que aún cubre todo el espacio.

Matemáticamente, usemos X para denotar un espacio topológico. Una cubierta abierta de X es una colección {U α } α ∈ A tal que ∪ U α = X.

Existe un subconjunto finito {U i1, U i2, ..., U in} tal que: ∪ U ij = X, para j en {i1, i2, ..., in}.

Ejemplos de espacios compactos

El ejemplo más simple de un espacio compacto es un intervalo cerrado en los números reales, digamos [a, b].

Consideremos la línea real ℝ. Un subconjunto cerrado y acotado [a, b] de ℝ es compacto. Esto es una consecuencia del teorema de Heine-Borel, que establece que un subconjunto de ℝ n es compacto si y solo si es cerrado y acotado.

Ejemplo: Sea [0, 1] un intervalo cerrado. Considere una cubierta abierta que consiste en conjuntos abiertos (0, 1/n) para n = 1, 2, 3, ... Una subcubierta finita de esto sería { (0, 1/2), (0, 1/3) }, etc., que cubre [0, 1].
A B

En este diagrama, ves el intervalo cerrado [a, b], que es compacto porque cualquier cubierta abierta de este intervalo tendrá una subcubierta finita que asegura que todo el intervalo esté cubierto.

Contraejemplo: espacio no compacto

Para comprender mejor la compacidad, también es útil considerar espacios que no son compactos.

Consideremos el intervalo abierto (0, 1) en los números reales. Tendrá una cubierta abierta { (0, 1 - 1/n) | n ∈ ℕ }. Aquí, no hay subcubierta finita que cubra todo el intervalo, lo que demuestra que (0, 1) no es compacto.

Ejemplo: (0, 1) no es compacto. Una cubierta abierta: { (0, 1), (0, 0.9), (0, 0.99), ... } No puede cubrirse finitamente.
0 1

En este diagrama, el intervalo (0, 1) se representa punteado y abierto en los extremos para demostrar que no se puede cubrir finitamente con ninguna colección de conjuntos abiertos que se encuentren completamente dentro de (0, 1).

Propiedades de los espacios compactos

Los espacios compactos exhiben varias propiedades útiles e importantes:

  • Cierra y acota: En espacios euclidianos, la compacidad está relacionada con el cierre y la acotación (teorema de Heine-Borel).
  • La imagen continua de un espacio compacto es compacta: si una función continua mapea un espacio compacto en otro espacio, entonces la imagen también es compacta.
  • Propiedad de intersección finita: Una familia de conjuntos cerrados en un espacio compacto con la propiedad de intersección finita tiene una intersección no vacía.

Brevedad y continuidad

Un aspecto fascinante de la compacidad es su interacción con funciones continuas. Si f: X → Y es una función continua y X es compacto, entonces f(X) es compacto en Y

Sea X compacto y f: X → Y continua. Entonces, f(X) es compacto en Y.

Puedes ayudar a visualizar esto:

X f(x)

Aquí, el círculo representa el espacio compacto X, y su mapeo continuo en otro espacio también se denota como compacto.

Propiedad de intersección finita

Los espacios compactos tienen la propiedad de intersección finita, lo que significa que si tienes una colección de conjuntos cerrados en un espacio compacto tal que cada intersección finita de estos conjuntos es no vacía, entonces toda la colección también tendrá una intersección no vacía.

Sea {F α } una colección de conjuntos cerrados en X (donde X es compacto). Si ∩ F j ≠ ∅ para cada subconjunto finito {F j }, entonces ∩ F α ≠ ∅.

Aplicaciones de la compacidad

La compacidad es útil en varias áreas de las matemáticas. Una de sus aplicaciones es en problemas de optimización, donde la compacidad asegura la existencia de un máximo o mínimo de una función continua.

Matemáticamente se expresa como:

Sea f: X → ℝ una función continua en un espacio compacto X. Entonces, f alcanza un máximo y un mínimo en X.

Esto se puede ver en el siguiente ejemplo, donde una función continua en un intervalo compacto alcanza un máximo y un mínimo:

Min Máximo

La curva azul representa la función, mientras que los círculos verde y rojo indican dónde alcanza un mínimo y un máximo, respectivamente, dentro del intervalo compacto.

Conclusión

La compacidad es un concepto central en topología que da lugar a muchos teoremas y aplicaciones poderosos. Al asegurar que los comportamientos infinitos puedan ser controlados o recogidos de manera finita, la compacidad permite a los matemáticos y científicos llegar a conclusiones importantes en una variedad de campos matemáticos.


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